Änderungen von Dokument Lösung L’Hospital

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Seiteneigenschaften

Inhalt

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7	7	__Verschiebung nach oben:__ {{formula}} \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+b}{e^x+b}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2x}{e^x}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2x}{e^x}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2}{e^x}=0 \Rightarrow{{/formula}} Verschiebung nach oben/unten irrelevant.
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9		-__Streckung nach oben/unten:__ {{formula}} \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{ax^2}{\tilde{a}e^x}=\dots = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2a}{2\tilde{a}e^x}=0 {{/formula}} also ebenfalls irrelevant.
	9	+__Streckung nach oben/unten:__ {{formula}} \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{ax^2}{\tilde{a}e^x}=\dots = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2a}{2\tilde{a}e^x}=0 {{/formula}}, also ebenfalls irrelevant.
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11	11	__Größere Hochzahl:__ {{formula}} \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{100}}{e^x}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{100x^{99}}{e^x}=\dots \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{100!}{e^x}=0 \Rightarrow {{/formula}} Bei jeder Hochzahl {{formula}} n \in \mathbb{N} {{/formula}} folgt ein Grenzwert von 0, wenn man die Regel von de L’Hospital nur oft genug anwendet.
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13		-__Positive Hochzahl {{formula}} \underline{r \notin \mathbb{N}} {{/formula}}:__ Für jede nicht natürliche rationale Hochzahl //r// wächst {{formula}} x^r {{/formula}} langsamer als {{formula}}x^n {{/formula}} für die kleinste natürliche Zahl {{formula}}n≥r {{/formula}}. Mit dem oben Gezeigten folgt also, dass {{formula}}x^r {{/formula}} langsamer wächst als {{formula}}e^x{{/formula}}
	13	+__Positive Hochzahl {{formula}} \underline{r \notin \mathbb{N}} {{/formula}}:__ Für jede nicht natürliche rationale Hochzahl //r// wächst {{formula}} x^r {{/formula}} langsamer als {{formula}}x^n {{/formula}} für die kleinste natürliche Zahl {{formula}}n\geq r {{/formula}}. Mit dem oben Gezeigten folgt also, dass {{formula}}x^r {{/formula}} langsamer wächst als {{formula}}e^x{{/formula}}
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15		-__Negative Hochzahl {{formula}} \underline{r \in \mathbb{Q}}:__ Da {{formula}}x^r {{/formula}} für {{formula}} x \rightarrow \infty{{/formula}} gegen 0 geht, wächst {{formula}}e^x {{/formula}} offensichtlich schneller.
	15	+__Negative Hochzahl {{formula}} \underline{r \in \mathbb{Q}}{{/formula}}:__ Da {{formula}}x^r {{/formula}} für {{formula}} x \rightarrow \infty{{/formula}} gegen 0 geht, wächst {{formula}}e^x {{/formula}} offensichtlich schneller.
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17	17	__Andere Basis q:__ {{formula}} \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2}{q^x}= \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2}{\ln(q)^2\cdot e^x}=0 {{/formula}}. Dies gilt analog auch für größere Hochzahlen als 2.
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