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Wiki-Quellcode von Lösung L’Hospital

Zuletzt geändert von akukin am 2023/11/30 10:47
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1 Zum Lösen der Aufgabe könnte man zunächst einfache Beispiele probieren wie {{formula}}f(x)=e^x{{/formula}} und {{formula}}g(x)=x^2{{/formula}} und mit einer Wertetabelle feststellen, dass //f// //g// sehr schnell überholt hat.
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3 Dann betrachtet man für das einfache Beispiel die Regel von de L’Hospital und erkennt, dass sie zweimal angewandt werden muss: {{formula}} \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2}{e^x}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2x}{e^x}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2}{e^x}=0{{/formula}}, also wächst {{formula}}e^x{{/formula}} schneller als {{formula}}x^2{{/formula}}.
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5 In weiteren Schritten kann man sich überlegen, inwieweit sich Modifikationen wie Verschiebung, eine Erhöhung des Exponenten (→ Regel muss mehrmals angewandt werden) oder eine Wahl von hohen bzw. niedrigen Werten von //a// oder eine Verringerung der Basis (entspricht einem modifizierten Wert von //a//) den Sachverhalt verändert:
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7 __Verschiebung nach oben:__ {{formula}} \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+b}{e^x+b}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2x}{e^x}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2x}{e^x}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2}{e^x}=0 \Rightarrow{{/formula}} Verschiebung nach oben/unten irrelevant.
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9 __Streckung nach oben/unten:__ {{formula}} \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{ax^2}{\tilde{a}e^x}=\dots = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2a}{2\tilde{a}e^x}=0 {{/formula}}, also ebenfalls irrelevant.
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11 __Größere Hochzahl:__ {{formula}} \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{100}}{e^x}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{100x^{99}}{e^x}=\dots \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{100!}{e^x}=0 \Rightarrow {{/formula}} Bei jeder Hochzahl {{formula}} n \in \mathbb{N} {{/formula}} folgt ein Grenzwert von 0, wenn man die Regel von de L’Hospital nur oft genug anwendet.
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13 __Positive Hochzahl {{formula}} \underline{r \notin \mathbb{N}} {{/formula}}:__ Für jede nicht natürliche rationale Hochzahl //r// wächst {{formula}} x^r {{/formula}} langsamer als {{formula}}x^n {{/formula}} für die kleinste natürliche Zahl {{formula}}n\geq r {{/formula}}. Mit dem oben Gezeigten folgt also, dass {{formula}}x^r {{/formula}} langsamer wächst als {{formula}}e^x{{/formula}}
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15 __Negative Hochzahl {{formula}} \underline{r \in \mathbb{Q}}{{/formula}}:__ Da {{formula}}x^r {{/formula}} für {{formula}} x \rightarrow \infty{{/formula}} gegen 0 geht, wächst {{formula}}e^x {{/formula}} offensichtlich schneller.
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17 __Andere Basis q:__ {{formula}} \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2}{q^x}= \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2}{\ln(q)^2\cdot e^x}=0 {{/formula}}. Dies gilt analog auch für größere Hochzahlen als 2.