Änderungen von Dokument BPE 12.3 Ableitungsregeln für Verknüpfungen und Verkettungen

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28	28	Gegeben ist eine Exponentialfunktion {{formula}}f_q{{/formula}} mit {{formula}}f_q(x)=q^x{{/formula}} für //q>0//. Diese Funktion ist (just for info) differenzierbar. Wir wollen ihre erste Ableitung {{formula}}f_q'{{/formula}} untersuchen und gehen dabei folgendermaßen vor.
29	29	(% class="abc" %)
30	30	1. Zeige, dass gilt: {{formula}}f_q'(x)=f_q(x)\cdot f_q'(0){{/formula}}.
31		-1. Untersuche die Abbildung {{formula}}q\mapsto f_q'(0){{/formula}} mit dem WTR.
	31	+1. Untersuche die Abbildung {{formula}}q\mapsto f_q'(0){{/formula}} mit dem WTR. Kennst du für den Funktionsterm eine passende Bezeichnung?
32	32	//Ansatz//. Wähle für //q// Potenzen von //e// und approximiere den Differenzialquotienten durch Differenzenquotienten mit kleinen Nennern.
	33	+1. Zeige unter Verwendung der Kettenregel und folgender Anmerkung die Ableitungsregel für die Exponentialfunktionen auf S. 5 der Merkhilfe. Dort wird der Funktionsterm {{formula}}e^{bx}{{/formula}} betrachtet, das ist für {{formula}}b=\ln(q){{/formula}} der Funktionsterm von {{formula}}f_q{{/formula}}, nämlich {{formula}}e^{bx}=e^{\ln(q)x}=q^x=f_q(x){{/formula}}.
33	33
34		-//Anmerkung//.
35		-(% class="abc" %)
36		-1. Es gilt folgende Gleichung {{formula}}f_q'(0)=\ln(q){{/formula}}. Das liefert einen alternativen Zugang zur natürlichen Logarithmusfunktion (als Alternative zu ihrer Erscheinungsweise als Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion).
37		-1. Es gilt die Äquivalenz folgender Gleichungen {{formula}}\lim_{h\to 0} \frac{q^h-1}{h}=1 \Leftrightarrow q=e{{/formula}}. Das zeichnet die natürliche Exponentialfunktion (zur Basis //e//) unter allen Exponentialfunktionen aus: {{formula}}f_e'(x)=f_e(x){{/formula}} bzw. kurz {{formula}}f_e'=f_e{{/formula}}.
38		-1. Es gilt {{formula}}f_q'(x)=\ln(q)\cdot f_q(x){{/formula}}.
39		-1. Die Ableitungsregel für Exponenzialfunktionen auf S. 5 der Merkhilfe verwendet die Darstellung {{formula}}q^x=e^{bx}{{/formula}} für {{formula}}b=\ln(q){{/formula}}.
	35	+//Anmerkung//.(% class="abc" %)
	36	+1. Es gilt folgende Gleichung: {{formula}}$$f_q'(0)=\ln(q)\:.$${{/formula}}
	37	+Das liefert einen alternativen Zugang zur natürlichen Logarithmusfunktion (als Alternative zu ihrer Erscheinungsweise als Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion).
	38	+1. Es gilt die Äquivalenz folgender Gleichungen: {{formula}}\[\lim_{h\to 0} \frac{q^h-1}{h}=1 \Leftrightarrow q=e\:.\]{{/formula}}
	39	+Das charakterisiert zunächst eine reelle Zahl, die wir durch "{{formula}}e{{/formula}}" bezeichnen" und das zeichnet weiter die natürliche Exponentialfunktion (zur Basis //e//) unter allen Exponentialfunktionen aus: {{formula}}f_e'(x)=f_e(x){{/formula}} bzw. kurz {{formula}}f_e'=f_e{{/formula}}.
	40	+1. Es gilt allgemein für die Funktionswerte von {{formula}}f_q'{{/formula}}: {{formula}}\[f_q'(x)=\ln(q)\cdot f_q(x)\:.\]{{/formula}}
40	40	{{/aufgabe}}
41	41
42	42	{{aufgabe id="Logarithmusfunktion ableiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="5"}}