Änderungen von Dokument BPE 12.3 Ableitungsregeln für Verknüpfungen und Verkettungen

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,28 +1,54 @@
1	1	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen anwenden
2	2	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen kombinieren
3	3
4		-{{aufgabe id="Ableiten verknüpfter Funktionen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="4"}}
	4	+{{aufgabe id="Verknüpfung" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="6"}}
5	5	Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen.
6	6
7	7	a) {{formula}}f(x)= e^{x}+2x +9 {{/formula}}.
8	8	b) {{formula}}f(x)=x \cdot sin(x) {{/formula}}.
9		-c) {{formula}}f(x)=\frac{1}{x}{{/formula}}.
10		-d) {{formula}}f(x)=\frac{1}{x} - sqrt{x}{{/formula}}.
	9	+c) {{formula}}f(x)= \frac{2x^{3} + 4x}{x} {{/formula}}.
11	11
	11	+
12	12	{{/aufgabe}}
13	13
14		-{{aufgabe id="Ableiten verketteter Funktionen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="4"}}
	14	+{{aufgabe id="Verkettung" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="6"}}
15	15	Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen.
16	16
17	17	a) {{formula}}f(x)=(3x+4)^5{{/formula}}.
18	18	b) {{formula}}f(x)=e^{-0,5x+3} {{/formula}}.
19		-c) {{formula}}f(x)=-cos(2x-6) {{/formula}}.
20		-d) {{formula}}f(x)=\frac{1}{(2x-7)^0,5} {{/formula}}.
	19	+c) {{formula}}f(x)=-0,5cos(2x-6) {{/formula}}.
21	21
22	22	{{/aufgabe}}
23	23
	23	+{{aufgabe id="Verknüpfung und Verkettung" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="8"}}
	24	+Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen.
24	24
	26	+a) {{formula}}f(x)=\sqrt{x} + cos (\pi {x}){{/formula}}.
	27	+b) {{formula}}f(x)=e^{-0,5x}\cdot sin(6x-1) {{/formula}}.
25	25
	29	+{{/aufgabe}}
	30	+
	31	+{{aufgabe id="Verknüpfung und Verkettung eAN" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" niveau= "e" cc="BY-SA" zeit="8"}}
	32	+
	33	+Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen.
	34	+
	35	+a) {{formula}}f(x)=e^{ln(0,75)x}+ln(9x-5) {{/formula}}
	36	+b) {{formula}}f(x)=(3x+1)\cdot e^{-x^4} {{/formula}}.
	37	+
	38	+{{/aufgabe}}
	39	+
	40	+{{aufgabe id="Funktion und Ableitung" afb="III" kompetenzen="K2, K5, K6" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="8"}}
	41	+
	42	+Ein Funktionsterm und deren Ableitung wurde nur unvollständig gegeben. Ermittle mögliche Eintragungen für die Kästchen.
	43	+Begründe, warum es mehrere Lösungen gibt.
	44	+
	45	+a) {{formula}}f(x)=e^{2x}\cdot\square {{/formula}}~ und~ {{formula}}f´(x)=2e^{2x}\cdot\square + 4e^{2x} {{/formula}}
	46	+b) {{formula}}f(x)=\square\cdot \frac{1}{x} {{/formula}}~ und {{formula}}f´(x)= \frac{5}{2\sqrt\square}\cdot\square + \square\cdot\square {{/formula}}
	47	+
	48	+{{/aufgabe}}
	49	+
	50	+
	51	+
26	26	{{aufgabe id="Ableitungsregeln entdecken und begründen" afb="III" kompetenzen="K1,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
27	27	Gegeben sind eine reelle Zahl //a// sowie zwei lineare Funktionen {{formula}}f_i{{/formula}} mit {{formula}}f_i(x)=m_i x+b_i{{/formula}} für {{formula}}i=1,2{{/formula}}.
28	28	(% class="abc" %)
...	...	@@ -47,7 +47,7 @@
47	47	//Anmerkung//, insbesondere zu Teilaufgabe e). Jede differenzierbare Funktion ist //lokal// "linear", genauer: "linear approximierbar" (vgl. dazu BPE 12.5 und 12.1), d.h., in der Nähe von //u// gilt die Näherung {{formula}}f(x)\approx f(u)+f'(u)\cdot (x-u){{/formula}}. Mit anderen Worten: Jede differenzierbare Funktion verhält sich, lokal betrachtet, wie eine lineare Funktion, welche erwiesenermaßen die Ableitungsregeln erfüllen.
48	48	{{/aufgabe}}
49	49
50		-{{aufgabe id="Exponentialfunktion ableiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="15"}}
	76	+{{aufgabe id="Exponentialfunktion ableiten" afb="III" kompetenzen="K1,K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="15"}}
51	51	Gegeben ist eine Exponentialfunktion {{formula}}f_q{{/formula}} mit {{formula}}f_q(x)=q^x{{/formula}} für //q>0//. Diese Funktion ist (just for info) differenzierbar. Wir wollen ihre erste Ableitung {{formula}}f_q'{{/formula}} untersuchen und gehen dabei folgendermaßen vor.
52	52	(% class="abc" %)
53	53	1. Zeige, dass gilt: {{formula}}f_q'(x)=f_q(x)\cdot f_q'(0){{/formula}}.
...	...	@@ -63,12 +63,12 @@
63	63	1. Es gelten allgemein folgende Gleichungen für die erste Ableitung: {{formula}}f_q'(x)=\ln(q)\cdot f_q(x){{/formula}} bzw. kurz {{formula}}f_q'=\ln(q)\cdot f_q{{/formula}}.
64	64	{{/aufgabe}}
65	65
66		-{{aufgabe id="Logarithmusfunktion ableiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="5"}}
	92	+{{aufgabe id="Logarithmusfunktion ableiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="5"}}
67	67	Gegeben ist die natürliche Logarithmusfunktion {{formula}}\ln{{/formula}} mit Definitionsbereich {{formula}}\mathbb{R}_+^*{{/formula}} und zugehörigem Wertebereich {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}}. Diese Funktion ist (just for info) differenzierbar. Wir wollen ihre erste Ableitung {{formula}}\ln'{{/formula}} ermitteln und gehen dabei folgendermaßen vor.
68	68	//Implizites Differenzieren//. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=e^{\ln(x)}=x{{/formula}}. Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) {{formula}}1=h'(x)=e^{\ln(x)}\cdot \ln'(x){{/formula}} nach {{formula}}\ln'{{/formula}} auf.
69	69	{{/aufgabe}}
70	70
71		-{{aufgabe id="Potenzregel und Produktregel" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
	97	+{{aufgabe id="Potenzregel und Produktregel" afb="III" kompetenzen="K1,K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
72	72	Gegeben ist eine Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=x^k{{/formula}}.
73	73	(% class="abc" %)
74	74	1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=0,1,2{{/formula}} mittels Definition des Differenzialquotienten.