Zum Inhalt springen
Zuletzt geändert von Holger Engels am 2025/10/23 09:42
Von Version 73.1
bearbeitet von Martina Wagner
am 2025/10/13 14:50
Änderungskommentar: Es gibt keinen Kommentar für diese Version
Auf Version 56.1
bearbeitet von Martin Rathgeb
am 2025/01/05 14:42
Änderungskommentar: Es gibt keinen Kommentar für diese Version

Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.martinawagner
1 +XWiki.martinrathgeb
Inhalt
... ... @@ -1,39 +1,6 @@
1 1  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen anwenden
2 2  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen kombinieren
3 3  
4 -{{aufgabe id="Ableiten verknüpfter Funktionen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="4"}}
5 -Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen.
6 -
7 -a) {{formula}}f(x)= e^{x}+2x +9 {{/formula}}.
8 -b) {{formula}}f(x)=x \cdot sin(x) {{/formula}}.
9 -c) {{formula}}f(x)= \frac{2x^{2} + 3x}{x} {{/formula}}.
10 -d) {{formula}}f(x)= \frac{1}{x} - \sqrt{x}{{/formula}}.
11 -
12 -{{/aufgabe}}
13 -
14 -{{aufgabe id="Ableiten verketteter Funktionen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="4"}}
15 -Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen.
16 -
17 -a) {{formula}}f(x)=(3x+4)^5{{/formula}}.
18 -b) {{formula}}f(x)=e^{-0,5x+3} {{/formula}}.
19 -c) {{formula}}f(x)=-cos(2x-6) {{/formula}}.
20 -d) {{formula}}f(x)=\frac{1}{(2x-7)^4} {{/formula}}.
21 -
22 -{{/aufgabe}}
23 -
24 -{{aufgabe id="Ableiten verknüpfter und verketteter Funktionen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="4"}}
25 -Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen.
26 -
27 -a) {{formula}}f(x)=\sqrt{x} + cos (\pi {x}){{/formula}}.
28 -b) {{formula}}f(x)=e^{-0,5x}\cdot sin(6x-1) {{/formula}}.
29 -c) {{formula}}f(x)=e^{ln(0,75)x}+ln(9x-5) {{/formula}}.
30 -d) {{formula}}f(x)=\frac{1}{x}\cdot e^{-x^4} {{/formula}}.
31 -
32 -{{/aufgabe}}
33 -
34 -
35 -
36 -
37 37  {{aufgabe id="Ableitungsregeln entdecken und begründen" afb="III" kompetenzen="K1,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
38 38  Gegeben sind eine reelle Zahl //a// sowie zwei lineare Funktionen {{formula}}f_i{{/formula}} mit {{formula}}f_i(x)=m_i x+b_i{{/formula}} für {{formula}}i=1,2{{/formula}}.
39 39  (% class="abc" %)
... ... @@ -93,8 +93,7 @@
93 93  //Ansatz (implizites Differenzieren)//. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=x^n\cdot f(x)=1{{/formula}}. Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) {{formula}}0=h'(x)=(x^n)'\cdot f(x)+x^n\cdot f'(x){{/formula}} nach {{formula}}f'(x){{/formula}} auf.
94 94  1. Zeige die Ableitungsregel für Potenzfunktionen auf S. 5 der Merkhilfe, d.h., die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k\in \mathbb{R}_+^*{{/formula}}.
95 95  //Ansatz//. Betrachte folgende hilfreiche Darstellung der Funktionsgleichung {{formula}}f(x)=x^k=e^{k\cdot \ln(x)}{{/formula}} von //f// und verwende die Ableitung der e-Funktion zzgl. Kettenregel.
96 -
97 -//Anmerkung//. In der letzten Teilaufgabe leistet die Fortsetzung {{formula}}e^{k\cdot \ln(x)}{{/formula}} der Funktionsgleichung von //f// (geradezu nebenbei) die (längst überfällige) Definition von Potenzen mit positiv reellen Exponenten.
63 +//Anmerkung//. Die Fortsetzung {{formula}}e^{k\cdot \ln(x)}{{/formula}} der Funktionsgleichung von //f// leistet (geradezu nebenbei) die (längst überfällige) Definition von Potenzen mit positiv reellen Exponenten.
98 98  {{/aufgabe}}
99 99  
100 100  {{aufgabe id="Winkelfunktionen" afb="III" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="15"}}
... ... @@ -101,10 +101,9 @@
101 101  Gegeben sind die Winkelfunktionen {{formula}}\sin, \cos{{/formula}} mit Definitionsbereich {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} und zugehörigem Wertebereich {{formula}}[-1;+1]{{/formula}}. Wir wollen ihre ersten Ableitungen {{formula}}\sin', \cos'{{/formula}} ermitteln und gehen dabei folgendermaßen vor. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=(\sin(x))^2+(\cos(x))^2=1{{/formula}} (trigonometrischer Pythagoras).
102 102  (% class="abc" %)
103 103  1. //Implizites Differenzieren//. Zeige, dass gilt: {{formula}}\sin(x)\sin'(x)=-\cos(x)\cos'(x){{/formula}}.
104 -1. Begründe bzw. plausibilisiere mittels Teilaufgabe (a) und graphisches Ableiten, dass {{formula}}\sin'=\cos{{/formula}} und {{formula}}\cos'=-\sin{{/formula}} gilt.
70 +1. Begründe bzw. plausibilisiere mittels Teilaufgabe (a) und der Graphen der Winkelfunktionen, dass {{formula}}\sin'=\cos{{/formula}} und {{formula}}\cos'=-\sin{{/formula}} gilt.
105 105  1. Zeige, dass aus {{formula}}\sin'=\cos{{/formula}} mittels Kettenregel {{formula}}\cos'=-\sin{{/formula}} folgt.
106 106  //Ansatz//. Betrachte folgende hilfreiche Darstellung der Funktionsgleichung {{formula}}\cos(x)=\sin(x-(-\pi/2)){{/formula}} von {{formula}}cos{{/formula}}.
73 +//Anmerkung//. Teilaufgabe (c) plausibilisiert die Behauptung in Teilaufgabe (b).
107 107  1. Zeige die Ableitungsregeln für Winkelfunktionen auf S. 5 der Merkhilfe.
108 -
109 -//Anmerkung//. Teilaufgabe (c) plausibilisiert die Behauptung in b).
110 110  {{/aufgabe}}