Änderungen von Dokument BPE 12.3 Ableitungsregeln für Verknüpfungen und Verkettungen

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -6,7 +6,7 @@
6	6
7	7	a) {{formula}}f(x)= e^{x}+2x +9 {{/formula}}.
8	8	b) {{formula}}f(x)=x \cdot sin(x) {{/formula}}.
9		-c) {{formula}}f(x)= \frac{1}{x} -3x {{/formula}}.
	9	+c) {{formula}}f(x)= \frac{2x^{3} + 4x}{x} {{/formula}}.
10	10
11	11
12	12	{{/aufgabe}}
...	...	@@ -23,7 +23,7 @@
23	23	{{aufgabe id="Verknüpfung und Verkettung" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="8"}}
24	24	Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen.
25	25
26		-a) {{formula}}f(x)=\sqrt{8x} + cos (\pi {x}){{/formula}}.
	26	+a) {{formula}}f(x)=\sqrt{x} + cos (\pi {x}){{/formula}}.
27	27	b) {{formula}}f(x)=e^{-0,5x}\cdot sin(6x-1) {{/formula}}.
28	28
29	29	{{/aufgabe}}
...	...	@@ -37,22 +37,13 @@
37	37
38	38	{{/aufgabe}}
39	39
40		-{{aufgabe id="Korrekturen" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="8"}}
41		-
42		-Tim hat zu einem gegebenen Funktionstermen eine Ableitung erstellt.
43		-Begründe, warum die Ableitung nicht korrekt ist.
44		-
45		-{{formula}}f(x)=\frac{1}{(6x+9)^{4}} {{/formula}}~ und~ {{formula}}f´(x)=\frac{1}{4(6x+9)^{3}} {{/formula}}
46		-
47		-{{/aufgabe}}
48		-
49	49	{{aufgabe id="Funktion und Ableitung" afb="III" kompetenzen="K2, K5, K6" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="8"}}
50	50
51	51	Ein Funktionsterm und deren Ableitung wurde nur unvollständig gegeben. Ermittle mögliche Eintragungen für die Kästchen.
52	52	Begründe, warum es mehrere Lösungen gibt.
53	53
54		-a) {{formula}}f(x)=e^{2x}\cdot\square {{/formula}}~ und~ {{formula}}f´(x)=2e^{2x}\cdot\square + 4e^{2x} {{/formula}}
55		-b) {{formula}}f(x)=\square\cdot \frac{1}{x} {{/formula}}~ und {{formula}}f´(x)= \frac{5}{2\sqrt\square}\cdot\square + \square\cdot\square {{/formula}}
	45	+a) {{formula}}f(x)=e^{2x}\cdot\square {{/formula}} und {{formula}}f´(x)=2e^{2x}\cdot\square + 4e^{2x} {{/formula}}
	46	+b) {{formula}}f(x)=\square\cdot \frac{1}{x} {{/formula}} und {{formula}}f´(x)= \frac{5}{2\sqrt\square}\cdot\square + \square\cdot\square {{/formula}}
56	56
57	57	{{/aufgabe}}
58	58
...	...	@@ -82,7 +82,7 @@
82	82	//Anmerkung//, insbesondere zu Teilaufgabe e). Jede differenzierbare Funktion ist //lokal// "linear", genauer: "linear approximierbar" (vgl. dazu BPE 12.5 und 12.1), d.h., in der Nähe von //u// gilt die Näherung {{formula}}f(x)\approx f(u)+f'(u)\cdot (x-u){{/formula}}. Mit anderen Worten: Jede differenzierbare Funktion verhält sich, lokal betrachtet, wie eine lineare Funktion, welche erwiesenermaßen die Ableitungsregeln erfüllen.
83	83	{{/aufgabe}}
84	84
85		-{{aufgabe id="Exponentialfunktion ableiten" afb="III" kompetenzen="K1,K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="15"}}
	76	+{{aufgabe id="Exponentialfunktion ableiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="15"}}
86	86	Gegeben ist eine Exponentialfunktion {{formula}}f_q{{/formula}} mit {{formula}}f_q(x)=q^x{{/formula}} für //q>0//. Diese Funktion ist (just for info) differenzierbar. Wir wollen ihre erste Ableitung {{formula}}f_q'{{/formula}} untersuchen und gehen dabei folgendermaßen vor.
87	87	(% class="abc" %)
88	88	1. Zeige, dass gilt: {{formula}}f_q'(x)=f_q(x)\cdot f_q'(0){{/formula}}.
...	...	@@ -98,12 +98,12 @@
98	98	1. Es gelten allgemein folgende Gleichungen für die erste Ableitung: {{formula}}f_q'(x)=\ln(q)\cdot f_q(x){{/formula}} bzw. kurz {{formula}}f_q'=\ln(q)\cdot f_q{{/formula}}.
99	99	{{/aufgabe}}
100	100
101		-{{aufgabe id="Logarithmusfunktion ableiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="5"}}
	92	+{{aufgabe id="Logarithmusfunktion ableiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="5"}}
102	102	Gegeben ist die natürliche Logarithmusfunktion {{formula}}\ln{{/formula}} mit Definitionsbereich {{formula}}\mathbb{R}_+^*{{/formula}} und zugehörigem Wertebereich {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}}. Diese Funktion ist (just for info) differenzierbar. Wir wollen ihre erste Ableitung {{formula}}\ln'{{/formula}} ermitteln und gehen dabei folgendermaßen vor.
103	103	//Implizites Differenzieren//. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=e^{\ln(x)}=x{{/formula}}. Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) {{formula}}1=h'(x)=e^{\ln(x)}\cdot \ln'(x){{/formula}} nach {{formula}}\ln'{{/formula}} auf.
104	104	{{/aufgabe}}
105	105
106		-{{aufgabe id="Potenzregel und Produktregel" afb="III" kompetenzen="K1,K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
	97	+{{aufgabe id="Potenzregel und Produktregel" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
107	107	Gegeben ist eine Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=x^k{{/formula}}.
108	108	(% class="abc" %)
109	109	1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=0,1,2{{/formula}} mittels Definition des Differenzialquotienten.