Lösung Funktion und Ableitung

Wir erhalten die Ableitung der Funktion mit Hilfe der Kettenregel \(f(x)=u(x)\cdot v(x) \ \implies \ f^\prime(x)=u^\prime(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^\prime(x)\).

Die Ableitung von \(u(x)=e^{2x}\) ist gegeben durch \(u^\prime(x)=2e^{2x}\).
Somit ist \(f^\prime(x)=2e^{2x}\cdot v(x)+e^{2x}\cdot v^\prime(x)\).
Also ist \(v^\prime(x)=4\).
Der fehlende Eintrag ist somit gegeben durch \(v(x)=4x+c\), wobei \(c\) eine beliebige Konstante ist:
\(f(x)=e^{2x}\cdot (4x+c) ~ \text{und} ~ f´(x)=2e^{2x}\cdot (4x+c) + 4e^{2x}\)
Da man für \(c\) eine beliebige Konstante wählen kann, weil sie beim Ableiten wegfällt, ergeben sich beliebig viele Lösungen.