BPE 12.6 Extrempunkte, Wendepunkte

1  Fremdsprache Mathematik  (7 min) 𝕃

Ergänze folgende Tabelle:

2  Extrem- und Wendestellen aus Wertetabellen  (7 min) 𝕃

Die folgende Tabelle enthält Funktionswerte und Werte der ersten beiden Ableitungen einer Polynomfunktion h vom Grad 4. Das Schaubild von h ist K.

Entscheide, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung, ohne Funktionsterme zu berechnen.

1. P(-1|2) liegt auf K.
2. K besitzt zwei Wendepunkte
3. K besitzt drei Punkte mit waagerechter Tangente

3  Extremstellen und Extrempunkte bestimmen  (5 min) 𝕃

Gegeben ist die Funktion f mit \(f(x)=\frac{1}{5}x^5-\frac{5}{4}x^4+\frac{4}{3}x^3\)

1. Gib alle Stellen an, an der die Funktion mögliche Extremstellen besitzt und begründe, warum eine der Stellen keine Extremstelle ist.
2. Berechne den Hoch- und Tiefpunkt des Schaubilds der Funktion f.

4  Innermathematisch A  (4 min) 𝕃

Gegeben ist eine Funktion \(f\) mit \(f(x)=x^3-6x^2+9x\).

1. Zeige, dass der Graph von \(f\) einen Extrempunkt besitzt, der auf der \(x\)-Achse liegt.
2. Berechne die minimale momentane Änderungsrate von \(f\).

5  Aussagen Polynomfunktion  (5 min) 𝕃

Welche der nachfolgenden Aussagen sind wahr? Begründe deine Wahl!
Eine Polynomfunktion 3. Grades...
☐ hat immer zwei Extrempunkte!
☐ kann auch mal nur einen Extrempunkt haben!
☐ kann auch mal keinen Extrempunkt haben!
☐ hat immer genau einen Wendepunkt!
☐ hat entweder einen Sattelpunkt oder zwei Extrempunkte!

6  Aussagen Sattelstelle  (5 min) 𝕃

Welche der nachfolgenden Aussagen über Sattelstellen sind wahr? Begründe deine Wahl!
☐ Eine Sattelstelle hat eine waagrechte Tangente.
☐ An einer Sattelstelle hat die Steigungsfunktion ein Maximum oder ein Minimum.
☐ An einer Sattelstelle gibt es immer auch einen Krümmungswechsel.
☐ Eine Sattelstelle ist auch eine Wendestelle.
☐ Eine Sattelstelle kann auch eine Maximalstelle sein.

7  Zuordnung  (5 min)

Die Schaubilder gehören zu den Funktionen \(f\), \(f'\) und \(f''\). Ordne zu und begründe Deine Zuordnung.

8  Notwendig oder hinreichend  (5 min)

Aufgabenentwurf
Gegenstand der Betrachtung sei eine Polynomfunktion f, ihre ersten beiden Ableitungen und ihr Graph K_f. Entscheide jeweils, ob die folgenden Bedingungen widersprüchlich, notwendig oder hinreichend für die Existenz eines Extrempunkts sind.

• f' hat an der Stelle x₀ eine Nullstelle
• f' hat an der Stelle x₀ eine einfache Nullstelle
• f' hat an der Stelle x₀ eine doppelte Nullstelle
• f' hat an der Stelle x₀ eine einfache Nullstelle und f'' ebenfalls eine einfache Nullstelle
• f' hat an der Stelle x₀ eine doppelte Nullstelle und f'' eine einfache Nullstelle
• f' hat an der Stelle x₀ eine doppelte Nullstelle und f'' einen negativen Wert
• f ist vom Grad 3 und hat 2 einfache Nullstellen

9  Nullstellen der Ableitungsfunktionen  (5 min) 𝕃

Aufgabenentwurf
Gegenstand der Betrachtung sei eine Polynomfunktion f, ihre ersten beiden Ableitungen und ihr Graph K_f an der Stelle x₀. Gib für jedes Kästchen an, ob es sich um eine Extremstelle (ES), Wendestelle (WS), Sattelstelle (SS), einen normalen Kurvenpunkt (╱) handelt, oder ob die Kombination evtl. widersprüchlich ist (↯).