Lösung Ableitungsfunktion gegeben
Version 1.1 von Holger Engels am 2026/01/08 13:10
Von einer Funktion \(g\) ist die erste Ableitung gegeben mit \(g´(x)=e^{-x^2+2x}(-2x+2)\).
Bestimme die Koordinaten der Wendepunkte.
Aus \(g'\) lässt sich rückwärts die Funktion \(g\) bestimmen:
\[g(x)=e^{-x^2+2x}\]
Die Nullstellen der zweiten Ableitung sind Kandiaten für Wendestellen:
\[g''(x)=e^{-x^2+2x}(4x^2-8x+2)\]
\[\begin{align*}
g''(x)= 0 \\
e^{-x^2+2x}(4x^2-8x+2) = 0 \\
2x^2-4x+1 = 0 \\
x = 1 \pm \sqrt{\frac12}
\end{align*}\]
Es sind zwei einfache NS. Daher handelt es sich tatsächlich um zwei Wendestellen.
Einsetzen in \(g\), um die y-Koordinaten zu erhalten:
\(g(1-\sqrt{\frac12}) = e^{-(1-\sqrt{\frac12})^2+2(1-\sqrt{\frac12})} \approx 1,65\)
\(g(1+\sqrt{\frac12}) = e^{-(1+\sqrt{\frac12})^2+2(1+\sqrt{\frac12})} \approx 1,65\)
\(\Rightarrow W_1(1-\sqrt{\frac12}, 1,65)\)
\(\Rightarrow W_2(1+\sqrt{\frac12}, 1,65)\)