Zum Inhalt springen
Version 1.1 von Holger Engels am 2026/01/08 13:10
Zeige letzte Bearbeiter
1 Von einer Funktion {{formula}}g{{/formula}} ist die erste Ableitung gegeben mit {{formula}}g´(x)=e^{-x^2+2x}(-2x+2){{/formula}}.
2 Bestimme die Koordinaten der Wendepunkte.
3
4 Aus {{formula}}g'{{/formula}} lässt sich rückwärts die Funktion {{formula}}g{{/formula}} bestimmen:
5
6 {{formula}}g(x)=e^{-x^2+2x}{{/formula}}
7
8 Die Nullstellen der zweiten Ableitung sind Kandiaten für Wendestellen:
9
10 {{formula}}g''(x)=e^{-x^2+2x}(4x^2-8x+2){{/formula}}
11
12 {{formula}}
13 \begin{align*}
14 g''(x)= 0 \\
15 e^{-x^2+2x}(4x^2-8x+2) = 0 \\
16 2x^2-4x+1 = 0 \\
17 x = 1 \pm \sqrt{\frac12}
18 \end{align*}
19 {{/formula}}
20
21 Es sind zwei einfache NS. Daher handelt es sich tatsächlich um zwei Wendestellen.
22
23 Einsetzen in {{formula}}g{{/formula}}, um die y-Koordinaten zu erhalten:
24
25 {{formula}}g(1-\sqrt{\frac12}) = e^{-(1-\sqrt{\frac12})^2+2(1-\sqrt{\frac12})} \approx 1,65{{/formula}}
26 {{formula}}g(1+\sqrt{\frac12}) = e^{-(1+\sqrt{\frac12})^2+2(1+\sqrt{\frac12})} \approx 1,65{{/formula}}
27
28 {{formula}}\Rightarrow W_1(1-\sqrt{\frac12}, 1,65){{/formula}}
29 {{formula}}\Rightarrow W_2(1+\sqrt{\frac12}, 1,65){{/formula}}