Lösung Extremstellen und Extrempunkte bestimmen

Gegeben ist die Funktion f mit \(f(x)=\frac{1}{5}x^5-\frac{5}{4}x^4+\frac{4}{3}x^3\)

1. Gib alle Stellen an, an der die Funktion mögliche Extremstellen besitzt und begründe, warum eine der Stellen keine Extremstelle ist.

   \[f'(x)=x^4-5x^3+4x^2\]

   mit \(f'(x)=0\) folgt:

   \[x_1 = 0;~ x_2 = 1;~ x_3 = 4\]

   Die Stelle x₁ = 0 ist keine Extremstelle, hier gelten die Bedinungen für einen Sattelpunkt

   \[f''(x)=0\]

   \[f'(x)\neq 0\]

2. Berechne den Hoch- und Tiefpunkt des Schaubilds der Funktion f.

   Mit Hife der zweiten hinreichenden Bedinung für innere Extremstellen folgt:

           \(f''(x_2)<0\), ein Hochpunkt bei HP(1/0,283)

           \(f''(x_3)>0\), ein Tiefpunkt bei TP(4/-29,867)