Lösung Extremstellen und Extrempunkte bestimmen

Gegeben ist die Funktion f mit \(f(x)=\frac{1}{5}x^5-\frac{5}{4}x^4+\frac{4}{3}x^3\)

1. Gib alle Stellen an, an der die Funktion mögliche Extremstellen besitzt und begründe, warum eine der Stellen keine Extremstelle ist.

   \[f'(x)=x^4-5x^3+4x^2\]

   mit \(f'(x)=0\) folgt
   x₁=0
   x₂=1
   x₃=4

   Die Stelle x₁=0 ist keine Extremstelle, hier gelten die Bedinungen für einen Sattelpunkt
   \(f''(x)=0\)
   \(f'(x)\neq 0\)

2. Berechne den Hoch- und Tiefpunkt des Schaubilds der Funktion f.

   Mit Hife der zweiten hinreichenden Bedinung für innere Extremstellen folgt:
   \(f''(x_2)<0\), ein Hochpunkt bei HP(1/0,283)
   \(f''(x_3)>0\), ein Tiefpunkt bei TP(4/-29,867)