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Dokument-Autor

...	...	@@ -1,1 +1,1 @@
1		-XWiki.akukin
	1	+XWiki.holgerengels

Inhalt

...	...	@@ -20,28 +20,6 @@
20	20	Es ist {{formula}}f^{\prime\prime}(x)= 6x-12{{/formula}} und
21	21	{{formula}}f^{\prime\prime}(3)= 6\cdot 3-12=6 \neq 0{{/formula}}. Somit liegt bei {{formula}}x=3{{/formula}} tatsächlich eine Extremstelle vor. Da {{formula}}f(3)=3^3-6\cdot3^2+9\cdot 3=0{{/formula}}, besitzt der Graph einen Extrempunkt, der auf der x-Achse liegt ((3|0)).
22	22
23		-b) Um den Wendepunkt zu bestimmen, setzen wir die zweite Ableitung gleich 0:
24		-{{formula}}f^{\prime\prime}(x)= 6x-12=0 \Leftrightarrow x=2{{/formula}}.
25		-Da {{formula}}f^{\prime\prime\prime}(x)=6 >0{{/formula}} liegt an der Stelle {{formula}}x=2{{/formula}} tatsächlich eine Wendestelle vor.
	23	+b) Die minimale momentane Änderungsrate (d.h. minimale erste Ableitung) enstpricht der Steigung an der Wendestelle, das heißt: {{formula}}f^\prime(2)= 3\cdot 2^2-12\cdot 2+9=-3 {{/formula}}.
26	26
27		-Es ist {{formula}}f(2)=2^3-6\cdot 2^2+9\cdot 2=2{{/formula}}. Somit ist der Wendepunkt W(2|2).
28		-
29		-Es soll nun ein Punkt ermittelt werden, der auf der Wendetangente {{formula}}t_1{{/formula}} liegt und von beiden Koordinatenachsen gleich weit entfernt ist. Das heißt, der Punkt besitzt die Koordinaten (x|x) (selbe x- und y-Koordinate). Dies ist für den Wendepunkt W(2|2) der Fall.
30		-
31		-
32		-//Alternativ hätte man, wenn man dies nicht sieht, die Gleichung der Wendetangente bestimmen können und (x|x) in {{formula}}t_1{{/formula}} einsetzen können://
33		-
34		-//Die Gleichung der Wendetangente erhält man durch den Ansatz //
35		-{{formula}}t_1=mx+c{{/formula}}.
36		-
37		-{{formula}}f^\prime(2) = 3\cdot 2^2-12\cdot 2+9=-3 \implies m-3{{/formula}}
38		-
39		-//Einsetzen von (2|2) in {{formula}}t_1{{/formula}}: {{formula}}2=(-3)\cdot 2 +c \Leftrightarrow c=8{{/formula}}//
40		-
41		-//Somit ist die Wendetangente {{formula}}t_1=-3x+8{{/formula}}.//
42		-
43		-//Einsetzen von (x|x): {{formula}}x = -3x +8 \Leftrightarrow x=2{{/formula}}//
44		-
45		-c) Die minimale momentane Änderungsrate (d.h. minimale erste Ableitung) enstpricht der Steigung an der Wendestelle, das heißt: {{formula}}f^\prime(2)= 3\cdot 2^2-12\cdot 2+9=-3 {{/formula}}.
46		-
47	47	(Allgemein liegt an einem Wendepunkt die größte/kleinste momentane Änderungsrate vor, da dort die erste Ableitung ihr Maxmimum/Minimum hat.)