Wiki-Quellcode von Lösung Innermathematisch A
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| author | version | line-number | content |
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1.1 | 1 | a) Um mögliche Extremstellen zu bestimmen, setzen wir die erste Ableitung gleich 0: |
| 2 | {{formula}} | ||
| 3 | \begin{align*} | ||
| 4 | f^\prime(x)=3x^2-12x+9 = 0 | ||
| 5 | \Leftrightarrow x^2-4x+3=0 | ||
| 6 | \end{align*} | ||
| 7 | {{/formula}} | ||
| 8 | |||
| 9 | Mit der Mitternachtsformel ergibt sich | ||
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| 11 | {{formula}} | ||
| 12 | \begin{align*} | ||
| 13 | x_{1,2} &= \frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot 3}}{2} \\ | ||
| 14 | &= \frac{4\pm\sqrt{4}}{2}= \frac{4\pm 2}{2} \\ | ||
| 15 | \implies &x_1=1, x_2=3 | ||
| 16 | \end{align*} | ||
| 17 | {{/formula}} | ||
| 18 | |||
| 19 | Es ist {{formula}}f^{\prime\prime}(x)= 6x-12{{/formula}} und | ||
| 20 | {{formula}}f^{\prime\prime}(3)= 6\cdot 3-12=6 \neq 0{{/formula}}. Somit liegt bei {{formula}}x=3{{/formula}} tatsächlich eine Extremstelle vor. Da {{formula}}f(3)=3^3-6\cdot3^2+9\cdot 3=0{{/formula}}, besitzt der Graph einen Extrempunkt, der auf der x-Achse liegt ((3|0)). | ||
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| 22 | b) Um den Wendepunkt zu bestimmen, setzen wir die zweite Ableitung gleich 0: | ||
| 23 | {{formula}}f^{\prime\prime}(x)= 6x-12=0 \Leftrightarrow x=2{{/formula}}. | ||
| 24 | Da {{formula}}f^{\prime\prime\prime}(x)=6 >0{{/formula}} liegt an der Stelle {{formula}}x=2{{/formula}} tatsächlich eine Wendestelle vor. | ||
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| 26 | Es ist {{formula}}f(2)=2^3-6\cdot 2^2+9\cdot 2=2{{/formula}}. Somit ist der Wendepunkt W(2|2). | ||
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| 28 | Es soll nun ein Punkt ermittelt werden, der auf der Wendetangente {{formula}}t_1{{/formula}} liegt und von beiden Koordinatenachsen gleich weit entfernt ist. Das heißt, der Punkt besitzt die Koordinaten (x|x) (selbe x- und y-Koordinate). Dies ist für den Wendepunkt W(2|2) der Fall. | ||
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| 33 | __Alternativ__ hätte man, wenn man dies nicht sieht, die Gleichung der Wendetangente bestimmen können und (x|x) in {{formula}}t_1{{/formula}} einsetzen können: | ||
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| 35 | Die Gleichung der Wendetangente erhält man durch den Ansatz | ||
| 36 | {{formula}}t_1=mx+c{{/formula}}. | ||
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| 38 | {{formula}}f^\prime(2)= 3\cdot 2^2-12\cdot 2+9=-3 \implies m-3{{/formula}} | ||
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| 40 | Einsetzen von (2|2) in {{formula}}t_1{{/formula}}:{{formula}}2=(-3)\cdot 2 +c \Leftrightarrow c=8{{/formula}} | ||
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| 42 | Somit ist die Wendetangente {{formula}}t_1=-3x+8{{/formula}}. | ||
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| 44 | Einsetzen von (x|x):{{formula}}x = -3x +8 \Leftrightarrow x=2{{/formula}} | ||
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| 46 | c) Um die minimale momentane Änderungsrate(d.h. Ableitung) zu bestimmen, gilt es, das Minimum von {{formula}}f^\prime{{/formula}} zu bestimmen. | ||
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