Änderungen von Dokument Lösung Monotonie

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Seiteneigenschaften

Inhalt

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1		-Am besten erhält man ein Gefühl für die Aufgabe, indem man verschiedene Funktionen zeichnet, die das Kriterium {{formula}} f'(x)>0 {{/formula}} für alle //x// verletzen.
	1	+Am besten erhält man ein Gefühl für die Aufgabe, indem man verschiedene Funktionen zeichnet, die das Kriterium f^\prime\left(x\right)>0 für alle x verletzen.
2	2
	3	+ Sobald es einen x-Wert mit negativer Steigung gibt, gibt es wegen der Knickfreiheit einen Bereich mit negativer Steigung und in diesem Bereich gilt: a<b => f\left(a\right)>f(b), weswegen eine solche Funktion nicht streng monoton steigend sein kann.
	4	+Also kann eine streng monoton steigende Funktion keinen x-Wert mit negativer Steigung haben.
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4		-* Sobald es einen //x//-Wert mit negativer Steigung gibt, gibt es wegen der Knickfreiheit einen Bereich mit negativer Steigung und in diesem Bereich gilt: {{formula}} a<b \Rightarrow f(a)>f(b){{/formula}} , weswegen eine solche Funktion nicht streng monoton steigend sein kann.
5		-Also kann eine streng monoton steigende Funktion keinen //x//-Wert mit negativer Steigung haben.
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7		-* Sobald ein ganzes Intervall {{formula}} [a,b]{{/formula}} (und sei es noch so klein) zwar keine negative Steigung aber immerhin die Steigung null hat, gilt für dieses Intervall: {{formula}} a<b \Rightarrow f(a)=f(b){{/formula}} , und wieder ist die Funktion nicht streng monoton steigend.
	6	+ Sobald ein ganzes Intervall [a,b] (und sei es noch so klein) zwar keine negative Steigung aber immerhin die Steigung null hat, gilt für dieses Intervall: a<b => f\left(a\right)=f(b), und wieder ist die Funktion nicht streng monoton steigend.
8	8	Also kann eine streng monoton steigende Funktion keine konstanten Bereiche besitzen.
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10		-[[image:x^3.png||style="float: right" width="350"]]
11		-* Als letzte Möglichkeit bleibt eine einzelne waagrechte Stelle, umgeben von lauter //x//-Werten mit positiver Steigung. (Als Beispiel könnte man {{formula}} f(x)=x^3 {{/formula}} an der Stelle {{formula}} x=0 {{/formula}} betrachten.)
12		-Wegen {{formula}}a<b{{/formula}} muss jedoch ein (beliebig kleines) Intervall um //x// betrachtet werden. Da außer //x// alle Steigungen von f im Intervall positiv sind, folgt {{formula}} f(a)<f(b){{/formula}} , und //f// bleibt streng monoton steigend.
	9	+ Als letzte Möglichkeit bleibt eine einzelne waagrechte Stelle, umgeben von lauter x-Werten mit positiver Steigung. (Als Beispiel könnte man f\left(x\right)=x^3 an der Stelle x=0 betrachten.)
	10	+Wegen a<b muss jedoch ein (beliebig kleines) Intervall um x betrachtet werden. Da außer x alle Steigungen von f im Intervall positiv sind, folgt f\left(a\right)<f(b), und f bleibt streng monoton steigend.
13	13	Also darf eine streng monoton steigende Funktion eine einzelne waagrechte Stelle besitzen.
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	13	+Die Aussage ist also wahr, z. B. für x=0 bei f mit f(x)=x³.
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	15	+Bemerkung: Mit derselben Argumentation darf eine streng monoton steigende Funktion beliebig viele einzelne waagrechte Stelle besitzen.
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	17	+Weitere Bemerkung: Man kann auch durch Aufleitung von f‘ argumentieren: Für alle a<b gilt \int_{a}^{b}{f^\prime\left(x\right)dx=f\left(b\right)-f\left(a\right)>0}, denn der Graph K von f\prime bildet in jedem Intervall [a;b] eine positiv orientierte Integralfläche, auch wenn K einzelne Nullstellen besitzt. Somit folgt f\left(b\right)>f(a).
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18		-Die Aussage ist also wahr, z. B. für {{formula}} x=0{{/formula}} bei //f// mit {{formula}} f(x)=x^3{{/formula}} .
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23		-[[image:x^3mitAbleitung.png||style="float: right" width="300"]]
24		-__Bemerkung:__ Mit derselben Argumentation darf eine streng monoton steigende Funktion beliebig viele einzelne waagrechte Stelle besitzen.
25		-__
26		-Weitere Bemerkung:__ Man kann auch durch Aufleitung von {{formula}}f'{{/formula}} argumentieren: Für alle {{formula}}a<b{{/formula}} gilt {{formula}}\int_a^b f'(x)dx=f(b)-f(a)>0{{/formula}}, denn der Graph //K// von {{formula}}f'{{/formula}} bildet in jedem Intervall {{formula}}[a,b] {{/formula}}eine positiv orientierte Integralfläche, auch wenn //K// einzelne Nullstellen besitzt. Somit folgt {{formula}} f(b)<f(a){{/formula}} .
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1		-XWiki.akukin

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