Am besten erhält man ein Gefühl für die Aufgabe, indem man verschiedene Funktionen zeichnet, die das Kriterium f^\prime\left(x\right)>0 für alle x verletzen.
Sobald es einen x-Wert mit negativer Steigung gibt, gibt es wegen der Knickfreiheit einen Bereich mit negativer Steigung und in diesem Bereich gilt: a<b => f\left(a\right)>f(b), weswegen eine solche Funktion nicht streng monoton steigend sein kann.
Also kann eine streng monoton steigende Funktion keinen x-Wert mit negativer Steigung haben.
Sobald ein ganzes Intervall [a,b] (und sei es noch so klein) zwar keine negative Steigung aber immerhin die Steigung null hat, gilt für dieses Intervall: a<b => f\left(a\right)=f(b), und wieder ist die Funktion nicht streng monoton steigend.
Also kann eine streng monoton steigende Funktion keine konstanten Bereiche besitzen.
Als letzte Möglichkeit bleibt eine einzelne waagrechte Stelle, umgeben von lauter x-Werten mit positiver Steigung. (Als Beispiel könnte man f\left(x\right)=x^3 an der Stelle x=0 betrachten.)
Wegen a<b muss jedoch ein (beliebig kleines) Intervall um x betrachtet werden. Da außer x alle Steigungen von f im Intervall positiv sind, folgt f\left(a\right)<f(b), und f bleibt streng monoton steigend.
Also darf eine streng monoton steigende Funktion eine einzelne waagrechte Stelle besitzen.
Die Aussage ist also wahr, z. B. für x=0 bei f mit f
=x³.
Bemerkung: Mit derselben Argumentation darf eine streng monoton steigende Funktion beliebig viele einzelne waagrechte Stelle besitzen.
Weitere Bemerkung: Man kann auch durch Aufleitung von f‘ argumentieren: Für alle a<b gilt \int_{a}^{b}{f^\prime\left(x\right)dx=f\left(b\right)-f\left(a\right)>0}, denn der Graph K von f\prime bildet in jedem Intervall [a;b] eine positiv orientierte Integralfläche, auch wenn K einzelne Nullstellen besitzt. Somit folgt f\left(b\right)>f(a).