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Wiki-Quellcode von Lösung Hängebrücke

Zuletzt geändert von akukin am 2024/03/26 18:42
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akukin 1.1 1 1.
2 (% style="list-style: lower-alpha" %)
3 1*. {{formula}}r(x)=0 \ \Leftrightarrow \ \frac{1}{11}\cdot (32-x)=0 \ \Leftrightarrow \ x=32 {{/formula}}
akukin 7.1 4 Das Abspannseil und damit auch die Fahrbahn enden also rechts an der Stelle {{formula}}x=32{{/formula}}. Da die Brücke achsensymmetrisch ist und somit links vom Ursprung genauso lang ist wie rechts und die Längeneinheit im Koordinatensystem 10m entspricht, gilt für die Länge:
5 {{formula}}2 \cdot 32 \cdot 10 \text{m}=640 \text{m}{{/formula}}
akukin 6.1 6 Somit ist die Fahrbahn der Brücke insgesamt 640 m lang.
akukin 9.1 7 1*. Aus Symmetriegründen gilt {{formula}}l(x)=r(-x){{/formula}}. Aus Teilaufgabe a. ist bereits bekannt, dass die Fahrbahn an der Stelle {{formula}}x=-32{{/formula}} beginnen muss. Aus dem Aufgabentext geht hervor, dass die Pfeiler einen Abstand von 400m haben. Es gilt somit für den Abstand von Fahrbahnbeginn zum linken Pfeiler: {{formula}}\frac{640\text{m}-400\text{m}}{2}=120 \text{m} \ \widehat{=} \ 12 \text{LE}{{/formula}}. Dadurch ergibt sich das Intervall {{formula}}\left[-32;-20\right]{{/formula}}.
akukin 1.1 8 1*. {{formula}}r(20)\cdot 10 \text{m}+20 \text{m} \approx 70 \text{m}{{/formula}}
9 1*. {{formula}}r^\prime(x)=-\frac{23}{100}\cdot e^{\frac{1}{11}(32-x)}{{/formula}}
akukin 10.2 10 {{formula}}\tan(\alpha)=r^\prime(20) \ \Leftrightarrow \ \alpha=\tan^{-1}(r^\prime(20))=\left(-\frac{23}{100}\cdot e^{\frac{1}{11}(32-20)}\right){{/formula}} liefert für die gesuchte Winkelgröße {{formula}}90^\circ + \alpha \approx 56^\circ {{/formula}}
akukin 2.1 11 1*. {{formula}}\int\limits_{20}^{32} r(x) \mathrm{d}x=\frac{253}{100}\cdot \left[-11 \cdot e^{\frac{1}{11}(32-x)}-x\right]_{20}^{32} \approx 25{{/formula}}
akukin 3.1 12 Der Flächeninhalt beträgt etwa {{formula}}2500 \text{m}^2{{/formula}}.
akukin 5.1 13
14 (% style="list-style:" start="2" %)
15 1.
akukin 3.1 16 (% style="list-style: lower-alpha" %)
akukin 10.3 17 1*. Der Funktionsterm ist ganzrational und enthält Potenzen von {{formula}}x{{/formula}} ausschließlich mit geradzahligen Exponenten.
akukin 3.1 18 1*. {{formula}}s(x)-s(x-4)=0,5 {{/formula}}
19 1*. Mit dem Term kann die Gesamtlänge der Halteseile im mittleren Brückenabschnitt berechnet werden.
akukin 10.3 20 __Begründung__: Der Term {{formula}}s(-20+1,6\cdot k){{/formula}} gibt für jedes der 24 Halteseile die Länge im Modell an. Der Faktor {{formula}}10{{/formula}} berücksichtigt den verwendeten Maßstab.
akukin 3.1 21 1*. Die Lösung der Gleichung ermöglicht die Berechnung des Abstands desjenigen Punktes des rechten Pfeilers zum Tragseil, der auf der Höhe der Fahrbahn liegt.
akukin 10.3 22 __Begründung__: Die Lösung der Gleichung ist die x-Koordinate desjenigen Punkts {{formula}}P{{/formula}} des Graphen von {{formula}}s{{/formula}}, dessen Verbindungsstrecke zum Punkt {{formula}}\left(20|0\right){{/formula}} senkrecht zur Tangente an den Graphen von {{formula}}s{{/formula}} in {{formula}}P{{/formula}} steht.
akukin 5.1 23 1*. [[image:LösungHängebrücke.png||width="180" style="float: right"]]Mit {{formula}}\tan\left(\frac{\beta}{2}\right)=\frac{20}{\frac{1699}{36}-5}{{/formula}} ergibt für die Länge des Kreisbogens {{formula}}\frac{\beta}{360^\circ}\cdot 2\pi \cdot \left(\frac{1699}{36}-\frac{1}{2}\right)\approx 41,3{{/formula}}.
akukin 3.1 24 Das Tragseil ist etwa 413m lang.
akukin 5.1 25