Änderungen von Dokument Lösung Sinusgraph

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -3,19 +3,17 @@
3	3	Der Graph {{formula}}G_f{{/formula}}, die <i>x</i>-Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen {{formula}}x=-2{{/formula}} und {{formula}}x=8{{/formula}} schließen eine Fläche ein, deren Teil unterhalb der <i>x</i>-Achse einen kleineren Inhalt besitzt als deren Teil oberhalb. Deshalb ist der Wert des Integrals nicht negativ.
4	4	{{/detail}}
5	5
6		-
7	7	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8	8	Für beide Teilflächen unterhalb der <i>x</i>-Achse gibt es symmetrisch zur jeweiligen Nullstelle eine gleichgroße Teilfläche oberhalb der <i>x</i>-Achse (rot und blau). Die grüne Teilfläche bleibt übrig und zählt positiv zum Integral.
9		-[[image:Sinusflaecheloesung.png||width="400" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
10		-<br>
	8	+
11	11	Die Aufgabe könnte auch rechnerisch gelöst werden:
12	12
13	13	{{formula}}
14		-\begin{align*}
	12	+\begin{align}
15	15	\int_{-2}^{8}{2\cdot\sin{\left(\frac{1}{2}x\right)}\mathrm{d} x}&=\left[-4\cdot\cos{\left(\frac{1}{2}x\right)}\right]_{-2}^8 \\
16	16	&=-4\cdot\cos{\left(4\right)}-\left(-4\cdot\cos{\left(-1\right)}\right) \\
17	17	&=-4\cdot\cos{\left(4\right)}+4\cdot\cos{\left(-1\right)}
18		-\end{align*}
	16	+\end{align}
19	19	{{/formula}}
20	20
21	21	Jedoch ist das Vorzeichen dieses Rechenergebnisses ohne Taschenrechner nur schwer zu ermitteln.
...	...	@@ -26,7 +26,6 @@
26	26	Wegen {{formula}}f^\prime\left(x\right)=\cos{\left(\frac{1}{2}x\right)}, f^\prime\left(0\right)=1{{/formula}} und {{formula}}f\left(0\right)=0{{/formula}} besitzt die Tangente an {{formula}}G_f{{/formula}} im Koordinatenursprung die Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}}, die auch die Gerade durch die beiden gegebenen Punkte beschreibt.
27	27	{{/detail}}
28	28
29		-
30	30	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
31	31	Die Tangentengleichung kann mit folgender Formel ermittelt werden:
32	32	<br>
...	...	@@ -45,8 +45,6 @@
45	45	{{formula}}f^\prime\left(0\right)=\cos{\left(0\right)}=1{{/formula}}
46	46	<br>
47	47	Folglich lautet die Gleichung der Tangente:
48		-<br>
49	49	{{formula}}y=x{{/formula}}
50		-<br>
51	51	Zwei Punktproben mit den Punkten {{formula}}\left(-1\middle|-1\right){{/formula}} und {{formula}}\left(1\middle|1\right){{/formula}} liefern wahre Aussagen, das heißt die Punkte liegen auf der Tangente.
52	52	{{/detail}}

Sinusflaecheloesung.png

Author

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1		-XWiki.akukin

Größe

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1		-20.7 KB

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