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Wiki-Quellcode von Lösung Stau WTR

Zuletzt geändert von akukin am 2024/03/26 23:42
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1 1.
2 (% style="list-style: lower-alpha" %)
3 1. {{formula}}x_1=0;x_2=\frac{8}{5};x_3=4{{/formula}} sind die einzigen Nullstellen von {{formula}}f{{/formula}}, denn der Funktionsterm ist in Produktform und hat drei Faktoren, die jeweils für diese Werte von {{formula}}x{{/formula}} null werden.
4 Zeitpunkte: 6:00 Uhr; 7:36 Uhr; 10:00 Uhr
5 1. Um 8:00 Uhr nimmt die Länge des Staus ab.
6 1. {{formula}} f^\prime\left(x\right)=\left(5x^2-16x+8\right)\cdot\left(1-\frac{x}{4}\right){{/formula}}
7 {{formula}}f^\prime\left(x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x_1=\frac{8}{5}-\frac{2}{5}\sqrt{6} \approx 0,6202;\ \ x_2=\frac{8}{5}+\frac{2}{5}\sqrt{6}\approx2,5798;\ \ x_3=4{{/formula}}
8 {{formula}}
9 f\left(0\right)=0;\ \ f\left(x_1\right)\approx2,169;\ \ f\left(x_2\right)\approx-1,593;\ \ f\left(x_3\right)=0{{/formula}}
10 Damit nimmt die Staulänge etwa 0,6202 Stunden nach 06:00 Uhr, das heißt um 6:37 Uhr, am stärksten zu. Die Änderungsrate beträgt zu diesem Zeitpunkt 2,169 km/h.
11 1. Zwischen 6:00 Uhr und 7:36 Uhr verläuft der Graph von {{formula}}f{{/formula}} über der x-Achse. Da die Staulänge das Integral über {{formula}}f\left(x\right){{/formula}} zwischen {{formula}}x=0{{/formula}} und dem aktuellen Zeitpunkt ist, muss der Stau um 7:36 Uhr am längsten sein.
12 1. Die Aussage ist richtig, wenn gilt, dass die Funktion {{formula}}s{{/formula}} die Integralfunktion über {{formula}}f\left(t\right){{/formula}} mit der unteren Grenze {{formula}}t=0{{/formula}} (6:00 Uhr) ist:
13 {{formula}}s\left(x\right)=\int_{0}^{x}{f\left(t\right)\mathrm{d} t}{{/formula}}
14 Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung besagt:
15 {{formula}}\left(\int_{0}^{x}{f\left(t\right)\mathrm{d} t}\right)^\prime=f\left(x\right){{/formula}}
16 Also muss gelten: {{formula}}s^\prime\left(x\right)=f\left(x\right){{/formula}}
17 {{formula}}s\left(x\right)=-\frac{1}{16}x^5+\frac{3}{4}x^4-3x^3+\ 4x^2\ \ \ \Rightarrow\ \ \ s^\prime\left(x\right)=-\frac{5}{16}x^4+3x^3-9x^2+8x=f\left(x\right){{/formula}}
18 Zudem muss gelten: {{formula}}s\left(0\right)=0{{/formula}}
19 Da beide Voraussetzungen erfüllt sind, gibt {{formula}}s\left(x\right){{/formula}} tatsächlich die Staulänge wieder.
20 Zudem gilt {{formula}}s\left(4\right)=0{{/formula}}, das heißt der Stau hat sich nach vier Stunden (um 10:00 Uhr) aufgelöst.
21 1. {{formula}}\bar{m}=\frac{1}{2-0,5}\cdot\int_{0,5}^{2}{f\left(x\right)\mathrm{d} x}=\ \frac{1}{1,5}\cdot\left(s\left(2\right)-s\left(0,5\right)\right)=\frac{2}{3}\left(2-\frac{343}{512}\right)=\frac{227}{256}\approx0,8867{{/formula}}
22 1. [[image:LösugGraphStau.png||width="180" style="float: left"]]
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33 Die Inhalte der Flächen, die der Graph mit der x-Achse für {{formula}}1,5\le x\le a{{/formula}} und {{formula}}a\le x\le b{{/formula}}einschließt, müssen übereintimmen.
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35 2.
36 (% style="list-style: lower-alpha" %)
37 1. Die Graphen von {{formula}}h_k{{/formula}} sind Parabeln //k//-ter Ordnung (im Falle von {{formula}}k=1{{/formula}} eine Gerade), die um 3 nach rechts und um 1 nach oben verschoben wurden.
38 Für gerade //k// gilt: {{formula}}x\rightarrow -\infty \ \Rightarrow \ h_k\left(x\right)\rightarrow+\infty{{/formula}}
39 Für ungerade //k// gilt: {{formula}}x\rightarrow -\infty\ \Rightarrow\ \ h_k\left(x\right)\rightarrow -\infty{{/formula}}
40 1. Alle Graphen beinhalten den Punkt {{formula}}S\left(3\middle|1\right){{/formula}} (Tiefpunkt für gerades //k//, Wendepunkt für ungerades //k// (Begründung: siehe Teilaufgabe 1.) und den Punkt {{formula}}P\left(4\middle|2\right){{/formula}}, da alle ungestreckten Parabeln sich vom Tief- bzw. Wendepunkt aus gesehen 1 weiter rechts und 1 weiter oben noch einmal schneiden.
41 1. Da Tangenten durch lineare Funktionen beschrieben werden, kommt nur {{formula}}k=2{{/formula}} in Frage, denn nur dann ist {{formula}}h_k^\prime{{/formula}} eine Polynomfunktion 1. Grades.
42 Zu überprüfen ist noch, ob {{formula}}h_2^\prime{{/formula}} eine Tangente an {{formula}}h_2{{/formula}} beschreibt:
43 {{formula}}h_2\left(x\right)=\left(x-3\right)^2+1=x^2-6x+10\ \ \Rightarrow\ \ h_2^\prime\left(x\right)=2x-6{{/formula}}
44 {{formula}}h_2\left(x\right)=h_2^\prime\left(x\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-8x+16=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \ \left(x-4\right)^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=4{{/formula}}
45 Also berühren sich die Graphen von {{formula}}h_2{{/formula}} und {{formula}}h_2^\prime{{/formula}} bei {{formula}}x=4{{/formula}}.
46 1. Diese Vierecke sind Trapeze, da {{formula}}Q{{/formula}} und {{formula}}P{{/formula}} bzw. {{formula}}R{{/formula}} und {{formula}}S{{/formula}} gleiche x-Koordinaten besitzen und damit {{formula}}\overline{QP}{{/formula}} und {{formula}}\overline{RS}{{/formula}} senkrecht verlaufen, also parallel zueinander sind.
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48 Zur Aussage:
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50 Da die x-Koordinaten sowieso gleich sind, haben die besagten Trapeze alle dieselbe Höhe. Es muss folglich nur noch gezeigt werden, dass für die parallelen Seiten gilt:
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52 {{formula}}
53 \begin{align*}
54 \frac{\overline{R_kS_k}+\overline{Q_kP_k}}{2}&=\frac{\overline{R_{k+1}S_{k+1}}+\overline{Q_{k+1}P_{k+1}}}{2} \\
55 \Leftrightarrow \quad \; h_k\left(2\right)-h_k^\prime\left(2\right)+h_k^\prime\left(4\right)-h_k\left(4\right) &=h_{k+1}^\prime\left(2\right)-h_{k+1}\left(2\right)+h_{k+1}^\prime\left(4\right)-h_{k+1}\left(4\right) \\
56 \Leftrightarrow \left(-1\right)^k+1-k\left(-1\right)^{k-1}+k-1-1 &=\left(k+1\right)\left(-1\right)^k-\left(-1\right)^{k+1}-1+k+1-1-1
57 \end{align*}
58 {{/formula}}
59
60 Da //k// gerade ist:
61
62 {{formula}}
63 \begin{align*}
64 1+1+k+k-1-1 &=k+1+1-1+k+1-1-1 \\
65 \Leftrightarrow \hspace{2.4cm} 2k &=2k
66 \end{align*}
67 {{/formula}}
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69 Die wahre Aussage bestätigt die Behauptung, dass die Mittelwerte der Längen der parallelen Seiten der Trapeze tatsächlich gleich sind und damit die Flächeninhalte identisch sind.