Änderungen von Dokument Lösung Stau2

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Seiteneigenschaften

Inhalt

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1		-1. {{formula}}x_1=0;x_2=\frac{8}{5};x_3=4{{/formula}} sind die einzigen Nullstellen von {{formula}}f{{/formula}}, denn der Funktionsterm ist in Produktform und hat drei Faktoren, die jeweils für diese Werte von {{formula}}x{{/formula}} null werden.
2		-Zeitpunkte: 6:00 Uhr; 7:36 Uhr; 10:00 Uhr
3		-1. Um 8:00 Uhr nimmt die Länge des Staus ab.
4		-1. {{formula}}
5		-f\left(x\right)=-\frac{5}{16}x^4+3x^3-9x^2+8x\ \ \ \Rightarrow\ \ \ f^\prime\left(x\right)=-\frac{5}{4}x^3+9x^2-18x+8{{/formula}}
6		-{{formula}}f^\prime\left(x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x_1=\frac{8}{5}-\frac{2}{5}\sqrt{6} \approx 0,6202;\ \ x_2=\frac{8}{5}+\frac{2}{5}\sqrt{6}\approx2,5798;\ \ x_3=4{{/formula}}
7		-{{formula}}
8		-f\left(0\right)=0;\ \ f\left(x_1\right)\approx2,169;\ \ f\left(x_2\right)\approx-1,593;\ \ f\left(x_3\right)=0{{/formula}}
9		-Damit nimmt die Staulänge etwa 0,6202 Stunden nach 06:00 Uhr, das heißt um 6:37 Uhr, am stärksten zu. Die Änderungsrate beträgt zu diesem Zeitpunkt 2,169 km/h.
10		-1. Zwischen 6:00 Uhr und 7:36 Uhr verläuft der Graph von {{formula}}f{{/formula}} über der x-Achse. Da die Staulänge das Integral über {{formula}}f\left(x\right){{/formula}} zwischen {{formula}}x=0{{/formula}} und dem aktuellen Zeitpunkt ist, muss der Stau um 7:36 Uhr am längsten sein.
11		-1. Die Aussage ist richtig, wenn gilt, dass die Funktion {{formula}}s{{/formula}} die Integralfunktion über {{formula}}f\left(t\right){{/formula}} mit der unteren Grenze {{formula}}t=0{{/formula}} (6:00 Uhr) ist:
12		-{{formula}}s\left(x\right)=\int_{0}^{x}{f\left(t\right)\mathrm{d} t}{{/formula}}
13		-Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung besagt:
14		-{{formula}}\left(\int_{0}^{x}{f\left(t\right)\mathrm{d} t}\right)^\prime=f\left(x\right){{/formula}}
15		-Also muss gelten: {{formula}}s^\prime\left(x\right)=f\left(x\right){{/formula}}
16		-{{formula}}s\left(x\right)=-\frac{1}{16}x^5+\frac{3}{4}x^4-3x^3+\ 4x^2\ \ \ \Rightarrow\ \ \ s^\prime\left(x\right)=-\frac{5}{16}x^4+3x^3-9x^2+8x=f\left(x\right){{/formula}}
17		-Zudem muss gelten: {{formula}}s\left(0\right)=0{{/formula}}
18		-Da beide Voraussetzungen erfüllt sind, gibt {{formula}}s\left(x\right){{/formula}} tatsächlich die Staulänge wieder.
19		-Zudem gilt {{formula}}s\left(4\right)=0{{/formula}}, das heißt der Stau hat sich nach vier Stunden (um 10:00 Uhr) aufgelöst.
20		-1. {{formula}}\bar{m}=\frac{1}{2-0,5}\cdot\int_{0,5}^{2}{f\left(x\right)\mathrm{d} x}=\ \frac{1}{1,5}\cdot\left(s\left(2\right)-s\left(0,5\right)\right)=\frac{2}{3}\left(2-\frac{343}{512}\right)=\frac{227}{256}\approx0,8867{{/formula}}
21		-1. {{formula}}s\left(x\right)+0,5=s\left(x-1\right){{/formula}}
22		-MMS: {{formula}}x_1=0,5299;\ x_2=2,3195;\ x_3=4,049;\ x_4=4,701{{/formula}}
23		-Nur für {{formula}}x_2{{/formula}} sind beide Zeitpunkte im Definitionsbereich.
24		-Der gesuchte Zeitpunkt ist 8:19 Uhr.
25		-1. [[image:LösungGraphStau.png||width="220" style="float: left"]]
26		-
27		-Die Inhalte der Flächen, die der Graph mit der x-Achse für {{formula}}1,5\le x\le a{{/formula}} und {{formula}}a\le x\le b{{/formula}} einschließt, müssen übereintimmen.
28		-
29		-
30	30	1. Die Graphen von {{formula}}h_k{{/formula}} sind Parabeln //k//-ter Ordnung (im Falle von {{formula}}k=1{{/formula}} eine Gerade), die um 3 nach rechts und um 1 nach oben verschoben wurden.
31	31	Für gerade //k// gilt: {{formula}}x\rightarrow\pm\infty \ \Rightarrow \ h_k\left(x\right)\rightarrow+\infty{{/formula}}
32	32	Für ungerade //k// gilt: {{formula}}x\rightarrow\pm\infty\ \Rightarrow\ \ h_k\left(x\right)\rightarrow\pm\infty{{/formula}}
33	33	1. Alle Graphen beinhalten den Punkt {{formula}}S\left(3\middle|1\right){{/formula}} (Tiefpunkt für gerades //k//, Wendepunkt für ungerades //k// (Begründung: siehe Teilaufgabe 1.) und den Punkt {{formula}}P\left(4\middle|2\right){{/formula}}, da alle ungestreckten Parabeln sich vom Tief- bzw. Wendepunkt aus gesehen 1 weiter rechts und 1 weiter oben noch einmal schneiden.
34		-1. Da Tangenten durch lineare Funktionen beschrieben werden, kommt nur {{formula}}k=2{{/formula}} in Frage, denn nur dann ist {{formula}}h_k^\prime{{/formula}} eine Polynomfunktion 1. Grades.
	5	+1. Da Tangenten durch lineare Funktionen beschrieben werden, kommt nur {{formula}}k=2{{/formula}} in Frage, denn nur dann ist {{formula}}h_k^\prime{{/formula}} eine Polynomfunktion 1. Grads.
35	35	Zu überprüfen ist noch, ob {{formula}}h_2^\prime{{/formula}} eine Tangente an {{formula}}h_2{{/formula}} beschreibt:
36		-{{formula}}h_2\left(x\right)=\left(x-3\right)^2+1=x^2-6x+10\ \ \Rightarrow\ \ h_2^\prime\left(x\right)=2x-6{{/formula}}
37		-{{formula}}h_2\left(x\right)=h_2^\prime\left(x\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-8x+16=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \ \left(x-4\right)^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=4{{/formula}}
	7	+{{formula}}h_2\left(x\right)=\left(x-3\right)^2+1=x^2-6x+10\ \ \ \Rightarrow\ \ \ h_2^\prime\left(x\right)=2x-6
	8	+h_2\left(x\right)=h_2^\prime\left(x\right)\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x^2-8x+16=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \left(x-4\right)^2=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=4{{/formula}}
38	38	Also berühren sich die Graphen von {{formula}}h_2{{/formula}} und {{formula}}h_2^\prime{{/formula}} bei {{formula}}x=4{{/formula}}.
39		-1. Diese Vierecke sind Trapeze, da {{formula}}Q{{/formula}} und {{formula}}P{{/formula}} bzw. {{formula}}R{{/formula}} und {{formula}}S{{/formula}} gleiche x-Koordinaten besitzen und damit {{formula}}\overline{QP}{{/formula}} und {{formula}}\overline{RS}{{/formula}} senkrecht verlaufen, also parallel zueinander sind.
40	40
41		-Zur Aussage:
42	42
43		-Da die x-Koordinaten sowieso gleich sind, haben die besagten Trapeze alle dieselbe Höhe. Es muss folglich nur noch gezeigt werden, dass für die parallelen Seiten gilt:
44		-
45		-{{formula}}
46		-\begin{align*}
47		-\frac{\overline{R_kS_k}+\overline{Q_kP_k}}{2}&=\frac{\overline{R_{k+1}S_{k+1}}+\overline{Q_{k+1}P_{k+1}}}{2} \\
48		-\Leftrightarrow \quad \; h_k\left(2\right)-h_k^\prime\left(2\right)+h_k^\prime\left(4\right)-h_k\left(4\right) &=h_{k+1}^\prime\left(2\right)-h_{k+1}\left(2\right)+h_{k+1}^\prime\left(4\right)-h_{k+1}\left(4\right) \\
49		-\Leftrightarrow \left(-1\right)^k+1-k\left(-1\right)^{k-1}+k-1-1 &=\left(k+1\right)\left(-1\right)^k-\left(-1\right)^{k+1}-1+k+1-1-1
50		-\end{align*}
51		-{{/formula}}
52		-
53		-Da //k// gerade ist:
54		-
55		-{{formula}}
56		-\begin{align*}
57		-1+1+k+k-1-1 &=k+1+1-1+k+1-1-1 \\
58		-\Leftrightarrow \hspace{2.4cm} 2k &=2k
59		-\end{align*}
60		-{{/formula}}
61		-
62		-Die wahre Aussage bestätigt die Behauptung, dass die Mittelwerte der Längen der parallelen Seiten der Trapeze tatsächlich gleich sind und damit die Flächeninhalte identisch sind.
63		-
64		-
65		-