Wiki-Quellcode von BPE 13.2 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, Bestimmtes Integral

Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/07/24 18:42

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4.1	1	{{seiteninhalt/}}
	2
3.1	3	[[Kompetenzen.K1]] Ich kann den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung mithilfe der Integralfunktion geometrisch sowie anschaulich als Beziehung zwischen Ableitungs- und Integralbegriff erläutern. {{niveau}}e{{/niveau}}
	4	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung zur Berechnung von bestimmten Integralen nutzen
	5	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung zur Berechnung von Integrationsgrenzen bei gegebenem Integralwert nutzen
4.1	6
6.2	7	{{aufgabe id="Integralfunktion" afb="III" kompetenzen="K2, K1, K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="30"}}
4.1	8	Paul, Sevda und Lucie wiederholen die Integralfunktion. Sie haben verstanden, dass jede Integralfunktion {{formula}}I_a{{/formula}} einer Funktion //f// auch Stammfunktion derselben Funktion //f// ist. In der Lerngruppe herrscht nun jedoch Uneinigkeit darüber, ob umgekehrt jede Stammfunktion auch Integralfunktion ist.
	9
	10	* Paul behauptet, dies sei für jede Funktion //f// der Fall.
	11	* Sevda meint dagegen, jede Funktion besäße auch Stammfunktionen, die //keine// Integralfunktionen sind.
	12	* Lucie zuletzt ist der Auffassung, dass es von der Funktion abhänge.
	13
	14	Begründe zunächst, weshalb jede Integralfunktion von //f// auch Stammfunktion von //f// ist. Überprüfe dann, wer Recht hat.
	15	{{/aufgabe}}
	16
14.1	17	{{aufgabe id="Integrale berechnen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Benjamin Kaiser, Debora Kemm" zeit="15"}}
15.1	18	[[image:Funktion f(x).png\|\|class=right width=450]](%class="abc" %)
13.1	19	1. Berechne das Integral der Funktion {{formula}}f(x) = x^3-2x^2{{/formula}}. Die Grenzen des Integrals sind die beiden Nullstellen. Der Graph der Funktion ist rechts abgebildet.
54.1	20	1. Berechne das Integral der folgenden Funktion im Intervall {{formula}}I[0;3]{{/formula}} {{formula}}g(x) = 2e^{(-3x+1)}{{/formula}}.
	21	1. Berechne das Integral von //h(x)// im Intervall {{formula}}I[0;3]{{/formula}}.
13.1	22
12.1	23	\|=x\|-1\|0\| 1\|2\| 3\|4
54.1	24	\|=h{(x)}\|1,5\|0\|-1,5\|0\|7,5\|24
	25	\|=H{(x)}\|2,13\|3\|2,13\|1\|4,13\|19
6.3	26	{{/aufgabe}}
	27
16.1	28
20.1	29	{{aufgabe id="HDI erklären" afb="II" kompetenzen="K4, K6" quelle="Sommerfeld" zeit="15"}}
16.1	30
54.1	31	Gegeben ist eine stetige Funktion {{formula}}f{{/formula}}. Die zugehörige Integralfunktion mit unterer Grenze {{formula}}a{{/formula}} ist definiert durch
16.1	32	{{formula}}
	33	J_a(x) = \int_a^x f(t)\,dt.
	34	{{/formula}}
	35
18.1	36	(%class="abc" %)
19.1	37	1. Erläutere in eigenen Worten, was der Funktionswert {{formula}}J_a(x){{/formula}} geometrisch bedeutet. Fertige zur Veranschaulichung eine Skizze an.
16.1	38	1. Gib den Wert {{formula}}J_a(a){{/formula}} an und begründe deine Antwort.
20.1	39	1. Erläutere den Zusammenhang zwischen {{formula}}J_a{{/formula}}und f.
16.1	40	{{/aufgabe}}
	41
41.1	42	{{aufgabe id="HDI anwenden" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Sommerfeld" zeit="10"}}
16.1	43	Ein Schüler behauptet:
	44
27.1	45	"Die Funktion G mit {{formula}}G(x) = \int_2^x f(t)\,dt {{/formula}} und die Funktion H mit {{formula}}H(x) = \int_5^x f(t)\,dt{{/formula}} sind verschiedene Funktionen. Daher kann f nicht gleichzeitig die Ableitung von G und von H sein."
16.1	46
41.1	47	(%class="abc" %)
	48	1. Begründe, unter welchen Voraussetzungen G und H verschiedene Funktionen sind.
43.1	49	1. Erkläre, ob die Aussage des Schülers wahr oder falsch ist.
16.1	50	{{/aufgabe}}
	51
34.1	52	{{aufgabe id="Integralfunktion graphisch" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K6" quelle="Sommerfeld" zeit="15"}}
41.1	53	Gegeben ist der Graph einer in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktion f.
40.1	54	[[image:graph_f.png\|\|class=right width=450]]
35.1	55	Betrachtet wird die Integralfunktion {{formula}}J_0(x) = \int_0^x f(t)dt {{/formula}}.
36.1	56	(%class="abc" %)
	57	1. Markiere in der Skizze farbig den Flächeninhalt, der dem Wert {{formula}}J_0(4) {{/formula}} entspricht.
38.1	58	1. Entscheide ohne Rechnung, welcher der beiden Funktionswerte {{formula}}J_0(2) {{/formula}} und {{formula}}J_0(4){{/formula}} größer ist.
	59	1. Begründe, an welcher Stelle {{formula}}x_0 \in [0;\,7] {{/formula}} die Integralfunktion {{formula}}J_0 {{/formula}} die kleinste Steigung besitzt.
42.1	60	1. Begründe, dass {{formula}}J_0 {{/formula}} auf dem Intervall {{formula}}[0;\,7] {{/formula}} streng monoton steigend ist.
34.1	61	{{/aufgabe}}
33.1	62
50.2	63	{{aufgabe id="Flächen abschätzen" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" quelle="Thomas Hermann" zeit="5"}}
48.3	64	Gegeben sind die Graphen der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktionen f und g mit {{formula}}f(x)=x\cdot e^x{{/formula}} und
	65	{{formula}}g(x)=log_{10}(x+1,5)+1{{/formula}}.
45.2	66
48.2	67	[[image:xEhochxlog.png\|\|width="500" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
45.4	68
	69	(%class=abc%)
45.7	70	1. Entscheide und begründe, ob {{formula}}\int_{-1}^{1}(x \cdot e^x) dx{{/formula}} größer, gleich oder kleiner 0 ist.
50.1	71	1. Schätze den Wert des Integrals {{formula}}\int_{-1,4}^{0,7}(g(x)-f(x)) dx{{/formula}} ab und begründe.
43.2	72	{{/aufgabe}}
	73
51.1	74	{{aufgabe id="Rechenregeln" afb="III" kompetenzen="K4,K5" quelle="Holger Engels" zeit="9"}}
54.1	75	Gegeben sind zwei im Intervall {{formula}}[-5; 5]{{/formula}} stetige Funktionen {{formula}}f{{/formula}} und {{formula}}g{{/formula}}. Es sind keine Funktionsterme bekannt, lediglich die Symmetrieeigenschaften:
	76	* Der Graph der Funktion {{formula}}f{{/formula}} ist punktsymmetrisch zum Ursprung
	77	* Der Graph der Funktion {{formula}}g{{/formula}} ist achsensymmetrisch zur y-Achse
51.1	78	und folgende bestimmte Integralwerte:
	79
53.1	80	(% style="display:flex"%)(((
52.1	81	((({{formula}}\int\limits_{0}^{3}f(x)\ dx=5{{/formula}}))) ((({{formula}}\int\limits_{0}^{5}g(x)\ dx=14{{/formula}}))) ((({{formula}}\int\limits_{-3}^{3}(f(x)+g(x))\ dx=18{{/formula}})))
53.1	82	)))
51.1	83
	84	Ermittle den exakten Wert des folgenden bestimmten Integrals:
	85
	86	{{formula}}\int\limits_{-5}^{-3}g(x)\ dx{{/formula}}
	87	{{/aufgabe}}
	88
4.1	89	{{seitenreflexion/}}

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