Änderungen von Dokument BPE 13.3 Flächeninhalte, Anwendung

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Seiteneigenschaften

Inhalt

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15	15	{{aufgabe id="Horn von Torecelli" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" niveau="e" zeit="15"}}
16	16	**Volumen- und Mantelflächeninhalte**
17	17	Die Funktion f ist gegeben durch {{formula}}f(x)=\frac{1}{x}{{/formula}} mit der Defintionsmenge {{formula}} D=[1;\infty[{{/formula}}.
	18	+
	19	+[[image:GabrielHorn.png]]
18	18	a) Berechne den Rauminhalt des Drehkörpers, der entsteht, wenn man die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall {{formula}} I=[1;\infty[{{/formula}} um die x-Achse rotiert.
19	19	b) Zeige, dass die Mantelfläche M (Oberfläche des Rotationskörpers) des Rotationskörpers unendlich ist. Hinweis: Schätze die Mantelfläche dazu gegen eine Fläche ab, die kleiner ist als die Mantelfläche, aber immer noch einen unendlichen Wert besitzt. Hierzu bietet sich die harmonische Reihe an für die gilt {{formula}} 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...=\infty{{/formula}}.
20	20	c) Die Mantelfläche M eines Rotationskörpers lässt sich exakt durch {{formula}} M(x)= 2\, \pi\cdot \int_a^b f(x) \cdot \sqrt{1+f'(x)^2} dx{{/formula}} berechnen. Berechne die Mantelfläche des Rotationskörpers im Intervall {{formula}} I=[1;5]{{/formula}}. Begründe wie man mit der Mantelformel die Behauptung aus der b) bestätigen kann.