Wiki-Quellcode von BPE 13.3 Flächeninhalte, Anwendung

Version 61.3 von Thomas Hermann am 2026/05/12 17:27

version	line-number	content
7.1	1	{{seiteninhalt/}}
8.1	2
3.1	3	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Flächeninhalte berechnen
7.1	4	[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Flächeninhalte auch im Anwendungskontext berechnen
3.1	5	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Volumen von Körpern, die durch Rotation um die x-Achse entstehen berechnen {{niveau}}e{{/niveau}}
7.1	6	[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von Körpern auch im Anwendungskontext berechnen {{niveau}}e{{/niveau}}
	7	[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K1]] Ich kann elementargeometrische Volumenformeln nachweisen {{niveau}}e{{/niveau}}
4.1	8
35.1	9
7.1	10	{{aufgabe id="Fläche zwischen Tiefpunkten" afb="2" kompetenzen="K5,K4" quelle="Abitur Hauptprüfung 2012/2013 Teil 1 Aufgabe 1" cc="" niveau="" zeit=""}}
34.1	11	Die Funktion f ist gegeben durch {{formula}}f(x)=2+2\sin(\frac{\pi}{2}x); x\in\mathbb{R}{{/formula}}. Das Schaubild von //f// ist //K//.
4.1	12
7.1	13	Zwischen zwei benachbarten Tiefpunkten von //K// schließen //K// und die x-Achse eine Fläche ein. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.
	14	{{/aufgabe}}
4.1	15
54.1	16	{{aufgabe id="Flächeninhalt graphisch bestimmen" afb="2" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Mohammed Abuhammad, Dirk Tebbe" cc="" niveau="" zeit="7"}}
49.2	17	Die Funktion f ist gegeben durch {{formula}}f(x)=2 sin(\frac{\pi}{4}x); x\in\mathbb{R}{{/formula}}. Das Schaubild von //f// ist //K//.
	18
53.1	19	Bestimmen Sie u so, dass {{formula}}
	20	\int_{4}^{u} f(x)\, dx = 64
	21	{{/formula}}.
49.2	22	{{/aufgabe}}
	23
47.1	24	{{aufgabe id="Geometrische Körper" afb="1" kompetenzen="K5, K6" quelle="Martina Wagner" cc="" niveau="" zeit="3"}}
46.1	25	Die Graphen der folgenden Funktionen begrenzen mit den Koordinatenachsen und der Geraden {{formula}} x=5 {{/formula}} jeweils ein Flächenstück. Dieses Flächenstück rotiert um die x-Achse und erzeugt einen Drehkörper.
47.1	26	Gib an, ob sich bei dem Drehkörper um einen geometrischen Körper handelt.
35.1	27
36.1	28	(%class=abc%)
	29	1. {{formula}}f(x)=5{{/formula}}
46.1	30	1. {{formula}}f(x)=x^2{{/formula}}
	31	1. {{formula}}f(x)=\frac{1}{2}x+1{{/formula}}
	32	1. {{formula}}f(x)=e^x{{/formula}}
35.1	33	{{/aufgabe}}
	34
47.1	35	{{aufgabe id="Volumenberechnung 1" afb="1" kompetenzen="K5,K4" quelle="Martina Wagner" cc="" niveau="" zeit="5"}}
44.1	36	Die Graphen der folgenden Funktionen begrenzen mit den Koordinatenachsen und der Geraden {{formula}} x=2 {{/formula}} jeweils ein Flächenstück. Dieses Flächenstück rotiert um die x-Achse und erzeugt einen Drehkörper. Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.
35.1	37
36.1	38	(%class=abc%)
37.1	39	1. {{formula}}f(x)=\sqrt{8x+1}{{/formula}}
36.1	40	1. {{formula}}f(x)=x^2{{/formula}}
	41	{{/aufgabe}}
	42
47.1	43	{{aufgabe id="Volumenberechnung 2" afb="2" kompetenzen="K5,K4" quelle="Martina Wagner" cc="" niveau="2" zeit="10"}}
45.1	44	Die Graphen der folgenden Funktionen begrenzen im Intervall {{formula}} [0;4]{{/formula}} jewils ein Flächenstück. Dieses Flächenstück rotiert um die x-Achse und erzeugt einen Drehkörper. Berechne jeweils das Volumen.
40.1	45
	46	(%class=abc%)
43.1	47	1. {{formula}}f(x)=x+9{{/formula}}
45.1	48	1. {{formula}}f(x)=x^2+7x{{/formula}}
43.1	49	1. {{formula}}f(x)=e^{2x}-1{{/formula}}
40.1	50	{{/aufgabe}}
	51
22.1	52	{{aufgabe id="Gabriels Horn" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" niveau="e" zeit="15"}}
	53	Volumen- und Mantelflächeninhalte - Gabriels Horn - Torricellis Trompete
16.1	54	Die Funktion f ist gegeben durch {{formula}}f(x)=\frac{1}{x}{{/formula}} mit der Defintionsmenge {{formula}} D=[1;\infty[{{/formula}}.
21.1	55
	56	[[image:GabrielHorn.png]]
17.1	57	a) Berechne den Rauminhalt des Drehkörpers, der entsteht, wenn man die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall {{formula}} I=[1;\infty[{{/formula}} um die x-Achse rotiert.
19.1	58	b) Zeige, dass die Mantelfläche M (Oberfläche des Rotationskörpers) des Rotationskörpers unendlich ist. Hinweis: Schätze die Mantelfläche dazu gegen eine Fläche ab, die kleiner ist als die Mantelfläche, aber immer noch einen unendlichen Wert besitzt. Hierzu bietet sich die harmonische Reihe an für die gilt {{formula}} 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...=\infty{{/formula}}.
22.1	59	c) Die Mantelfläche M eines Rotationskörpers lässt sich exakt durch {{formula}} M(x)= 2\, \pi\cdot \int_a^b f(x) \cdot \sqrt{1+f'(x)^2} dx{{/formula}} berechnen Begründe wie man mit der Mantelformel die Behauptung aus der b) bestätigen kann. Hinweis: Da sich das Integral mit schulischen Mitteln nicht lösen lässt verwende die Abschätzung {{formula}}\sqrt{1+f'(x)^2} \geq 1 {{/formula}} für alle {{formula}} x \in \mathbb{R} {{/formula}}.
16.1	60
11.1	61	{{/aufgabe}}
	62
23.1	63
30.1	64	{{aufgabe id="Fläche, Quadrat" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2023/abitur/pools2023/mathematik/erhoeht/2023_M_erhoeht_A_9.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
23.1	65	Gegeben ist die in {{formula}} \mathbb{R} {{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f:x\mapsto-x^2+2ax{{/formula}} mit {{formula}}a\in\left]1;+\infty\right[{{/formula}}. Die Nullstellen von {{formula}} f{{/formula}} sind {{formula}}0{{/formula}} und {{formula}}2a{{/formula}}.
	66
	67	1. Zeige, dass das Flächenstück, das der Graph von {{formula}}f{{/formula}} mit der x-Achse einschließt, den Inhalt {{formula}} \frac{4}{3}a^3 {{/formula}} hat.
	68	1. Der Hochpunkt des Graphen von {{formula}}f{{/formula}} liegt auf einer Seite eines Quadrats; zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen (vgl. Abbildung). Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von {{formula}}f{{/formula}} mit der x-Achse einschließt, überein. Bestimme den Wert von {{formula}}a{{/formula}}.
25.1	69	[[image:Graph-x^2 2ax.PNG\|\|width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
23.1	70	{{/aufgabe}}
	71
30.1	72	{{aufgabe id="Funktionsschar" afb="" kompetenzen="K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>hhttps://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20erhoeht/2024_M_erhoeht_A_4.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
27.1	73	Gegeben ist die Schar der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktionen {{formula}}f_a{{/formula}} mit {{formula}}f_a\left(x\right)=ax^3+ax^2{{/formula}} und {{formula}}a\in\mathbb{R}^+{{/formula}}.
	74
	75	1. Gib den Wert von {{formula}}a{{/formula}} an, so dass der Punkt {{formula}}\left(1\middle\|6\right){{/formula}} auf dem Graphen von {{formula}}f_a{{/formula}} liegt.
28.1	76	1. Berechne in Abhängigkeit von {{formula}}a{{/formula}} den Inhalt der Fläche, die der Graph von {{formula}}f_a{{/formula}} mit der //x//-Achse einschließt.
27.1	77
28.1	78
	79	__Hinweis__:
	80	Der Begriff „Schar“ beziehungsweise „Funktionsschar“ ist nicht konform zum Bildungsplan für berufliche Gymnasien in Baden-Württemberg. Deswegen wäre eine derartige Aufgabe für die Abiturprüfung an beruflichen Gymnasien nicht zulässig.
	81
	82	Eine bildungsplankonforme Variante wäre zum Beispiel:
	83	Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=ax^3+ax^2{{/formula}}, wobei {{formula}}a\in\mathbb{R}^+{{/formula}} eine feste Zahl ist.
	84
29.1	85	1. Der Punkt {{formula}}\left(1\middle\|6\right){{/formula}} liegt auf dem Graphen von {{formula}}f{{/formula}}. Gib den Wert von {{formula}}a{{/formula}} an.
	86	1. Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von {{formula}}f{{/formula}} mit der //x//-Achse einschließt.
	87
27.1	88	{{/aufgabe}}
	89
32.1	90	{{aufgabe id="Symmetrie und Flächeninhalt" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20grundlegend/2024_M_grundlege_1.pdf]]" niveau="g" tags="iqb" cc="by"}}
31.1	91	Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=x^3-4x{{/formula}}.
	92
	93	1. Begründe, dass der Graph von {{formula}}f{{/formula}} symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.
	94	1. Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} und die x-Achse schließen eine Fläche ein, die aus zwei Flächenstücken besteht. Berechne den Inhalt dieser Fläche.
	95	{{/aufgabe}}
	96
49.1	97	{{aufgabe id="Dragster" afb="II" kompetenzen="" quelle="" zeit="" tags=""}}
	98	Die Funktion //s// mit {{formula}}s(t)=35-35\cdot e^{-2t}{{/formula}} beschreibt den Geschwindigkeitsverlauf eines Fahrzeugs bei einem Junior Dragsterrennen. Berechne die Zeit auf 1/10 s genau, wann das Fahrzeug //200 m// zurückgelegt hat.
	99	{{/aufgabe}}
	100
54.2	101	{{aufgabe id="Gezeitenkraftwerk" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" quelle="Thomas Hermann" zeit="20min"}}
	102	Im Gezeitenkraftwerk Sihwa-ho in Südkorea kann der Durchfluss durch den Damm durch die folgende Sinus Funktion modelliert werden:
55.7	103
61.3	104
55.7	105	(%class=abc%)
	106	1.
54.2	107	{{/aufgabe}}
	108
26.1	109	{{seitenreflexion/}}

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