Änderungen von Dokument Lösung Fläche zwischen Tiefpunkten

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Details

Seiteneigenschaften

Titel

...	...	@@ -1,1 +1,1 @@
1		-Lösung Fläche zwischen Tiefpunkten
	1	+Lösungen

Dokument-Autor

...	...	@@ -1,1 +1,1 @@
1		-XWiki.vbs
	1	+XWiki.kickoff

Inhalt

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	1	+== Flächeninhalte, Anwendung ==
	2	+
	3	+{{lösung}}
	4	+a)
1	1	Die trigonometrische Funktion ist 2 LE nach oben verschoben. Die Amplitude hat den Wert 2. Die Periode ergibt sich mit {{formula}} p=\frac{2\pi}{b}=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}}=4 {{/formula}}. Damit ergeben sich die Tiefpunkte als Schnittstelle mit der x-Achse bei {{formula}} x=3+4*k; k\in\mathbb{R} {{/formula}}. Siehe Skizze.
	6	+ [[image:Bild_2023-10-09_144752764.png]]
2	2
3		-[[image:Bild_2023-10-09_144752764.png]]
4		-
5	5	Die gesuchte Fläche berechnet sich also zum Beispiel so:
	9	+ {{formula}}
	10	+\int_{-1}^3 f(x)dx = \int_{-1}^3 (2+2sin(\frac{\pi}{2}x))dx = [2x - \frac{4}{\pi}cos(\frac{\pi}{2}x)]_{-1}^3 =(2*3-\frac{4}{\pi}cos(\frac{\pi}{2}*3))-(2*(-1)-\frac{4}{\pi}cos(\frac{\pi}{2}*(-1)))=8
6	6
7		-{{formula}}\int_{-1}^3 f(x)dx = \int_{-1}^3 (2+2sin(\frac{\pi}{2}x))dx = [2x - \frac{4}{\pi}cos(\frac{\pi}{2}x)]_{-1}^3 =(2*3-\frac{4}{\pi}cos(\frac{\pi}{2}*3))-(2*(-1)-\frac{4}{\pi}cos(\frac{\pi}{2}*(-1)))=8{{/formula}}
8		-
	12	+{{/formula}}
	13	+
9	9	Die gesuchte Fläche ist 8 FE groß.
	15	+
	16	+ b)
	17	+ [[image:Bild_2023-10-09_152119094.png]]
	18	+ Gesucht ist das Rotationsvolumen der Fläche zwischen K und der Gerade mit {{formula}} y=2{{/formula}}. Für die Fläche zwischen zwei Graphen gilt {{formula}}\int_{a}^b (f(x)-g(x))dx {{/formula}}, wenn {{formula}} f(x)\geq g(x) {{/formula}}.
	19	+ Das Rotationsvolumen berechnet sich mit {{formula}}V= \pi \int_{a}^b (f(x))^2 dx {{/formula}}.
	20	+
	21	+ Für das gesuchte Volumen gilt:
	22	+
	23	+ {{formula}}
	24	+\pi \int_{0}^2 (f(x))^2 dx - \pi \int_{0}^2 2^2 dx = \pi \int_{0}^2 (2+2sin(\frac{\pi}{2}x))^2 - 2^2 dx = \pi * [\frac{1}{3}(2+2sin(\frac{\pi}{2}x))^3*\frac{1}{\pi*cos(\frac{\pi}{2}x)}-4x]_{0}^2
10	10
	26	+{{/formula}}
	27	+{{/lösung}}