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Wiki-Quellcode von Lösung Gabriels Horn

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2023/10/24 21:07
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1 a) Das Volumen V eines Rotationskörpers lässt sich durch {{formula}} V(x)=\pi \cdot \int_a^b (f(x))^2 \;dx {{/formula}} bestimmen.
2 Für die gegebene Funktion f erhält man demnach
3
4 {{formula}}
5 \begin{align*}
6 V(x) &= \pi \cdot \int_a^b (f(x))^2 \;dx \\
7 &= \pi \cdot \int_1^\infty (\frac{1}{x})^2 \;dx \\
8 &= \pi \cdot \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\;dx \\
9 &= [-\pi\cdot \frac{1}{x}]_1^\infty \\
10 &= 0-(-\pi) = \pi
11 \end{align*}
12 {{/formula}}
13
14 Das Volumen des Horns ist also gerade {{formula}}\pi{{/formula}}.
15
16 b) Baut man eine waagerechte Treppe T mit x-Schrittweite eins und Höhe {{formula}}\frac{1}{n+1}{{/formula}} mit {{formula}}n \in \mathbb{N}{{/formula}} so erhält man als eine Treppe, die garantiert einen kleineren Flächeninhalt besitzt als das Horn. Für dieses gilt {{formula}}M(x) > T(x) = \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...= \infty{{/formula}}. Demnach muss das Horn ebenfalls einen unendlichen Flächeninhalt besitzen, wenn schon die kleinere Treppe einen unendlichen Flächeninhalt besitzt.
17
18 c) Mit der Mantelformel erhält man {{formula}} M(x)=2\,\pi \cdot \int_1^\infty \frac{1}{x}\cdot \sqrt{1+\frac{1}{x^4}} \;dx > 2\,\pi \cdot \int_1^\infty \frac{1}{x} \; dx= 2\,\pi \cdot [\ln(x)]_1^\infty =\infty {{/formula}} da {{formula}} \lim_{x\rightarrow \infty} \ln(x)=\infty{{/formula}} ist.