Änderungen von Dokument Lösung Polynomfunktion Grad 4

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Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

...	...	@@ -1,1 +1,1 @@
1		-XWiki.holgerengels
	1	+XWiki.akukin

Inhalt

...	...	@@ -1,36 +1,8 @@
1	1	Vierter Grad bedeutet, dass die Funktion die Form {{formula}}f(x)=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0{{/formula}} besitzt.
2		-Da der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse sein soll, fallen die ungeraden Exponenten weg, d.h.
3		-{{formula}}f(x)=a_4x^4+a_2x^2+a_0{{/formula}}
4		-{{formula}}f^\prime(x)=4\cdot a_4 x^3+2\cdot a_2 x{{/formula}}
	2	+Da der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse sein soll, fallen die ungeraden Exponenten weg, d.h. {{formula}}f(x)=a_4x^4+a_2x^2+a_0{{/formula}}.
	3	+Weiterhin gilt: {{formula}}f^\prime(2)=0{{/formula}} (Hochpunkt bei {{formula}}x=2{{/formula}})
	4	+{{formula}}f^\prime(x)=4\cdot a_4 x^3+2\cdot a_2 x \implies f^\prime(2)=4\cdot a_4 \cdot 2^3+2\cdot a_2 \cdot 2 =0 {{/formula}} (Gleichung (I))
	5	+Ebenso gilt (Tangente der Steigung 24 bei {{formula}}x=1{{/formula}}): {{formula}}f^\prime(1)=24 \implies f^\prime(1)=4\cdot a_4 +2\cdot a_2 =14{{/formula}} (Gleichung (II))
5	5
6		-**Bedingungen und Gleichungen:**
7		-{{formula}}f^\prime(2)=0 \implies f^\prime(2)=4\cdot a_4 \cdot 2^3+2\cdot a_2 \cdot 2 =0{{/formula}}
8		-{{formula}}f^\prime(1)=24 \implies f^\prime(1)=4\cdot a_4 +2\cdot a_2 =14{{/formula}}
9		-{{formula}}f(1)=9 \implies f(1)=a_4+a_2+a_0=9{{/formula}}.
10		-
11		-{{formula}}
12		-\left(
13		-\begin{array}{ccc|c}
14		- 1 & 1 & 1 & 9 \\
15		- 2 & 1 & 0 & 12 \\
16		- 8 & 1 & 0 & 0
17		-\end{array}
18		-\right)
19		-{{/formula}}
20		-
21		-Wir erzeugen eine Null in der zweiten Spalte in der 3. Zeile (-II + III)
22		-
23		-{{formula}}
24		-\left(
25		-\begin{array}{ccc|c}
26		- 1 & 1 & 1 & 9 \\
27		- 2 & 1 & 0 & 12 \\
28		- 6 & 0 & 0 & -12
29		-\end{array}
30		-\right)
31		-{{/formula}}
32		-
33		-Aus III: {{formula}}6a_4 = -12 \implies a_4=-2{{/formula}}
34		-Aus II: {{formula}}-4 + a_2 = 12 \implies a_2=16{{/formula}}
35		-Aus I: {{formula}}-2 + 16 + a_0 = 9 \implies a_0=-5{{/formula}}
36		-Die Funktionsgleichung lautet damit insgesamt {{formula}}f(x)=-2x^4+16x^2-5{{/formula}}.
	7	+Aus (I) folgt {{formula}}4\cdot a_2= 32\cdot a_4 \ \Leftrightarrow a_2 = 8\cdot a_4{{/formula}}.
	8	+Einsetzen von {{formula}} a_2 = 8\cdot a_4{{/formula}} in (II): {{formula}}4\cdot a_4 +2\cdot (8\cdot a_4) = 20 a_4=24 \Leftrightarrow a_4= \frac{24}{20}=\frac{6}{5}{{/formula}}.