Lösung Polynomfunktion Grad 4

Vierter Grad bedeutet, dass die Funktion die Form \(f(x)=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\) besitzt.
Da der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse sein soll, fallen die ungeraden Exponenten weg, d.h. \(f(x)=a_4x^4+a_2x^2+a_0\).
Weiterhin gilt: \(f^\prime(2)=0\) (Hochpunkt bei \(x=2\))
\(f^\prime(x)=4\cdot a_4 x^3+2\cdot a_2 x \implies f^\prime(2)=4\cdot a_4 \cdot 2^3+2\cdot a_2 \cdot 2 =0 \) (Gleichung (I))
Ebenso gilt (Tangente der Steigung 24 bei \(x=1\)): \(f^\prime(1)=24 \implies f^\prime(1)=4\cdot a_4 +2\cdot a_2 =14\) (Gleichung (II))

Aus (I) folgt \(4\cdot a_2= 32\cdot a_4 \ \Leftrightarrow a_2 = 8\cdot a_4\).
Einsetzen von \( a_2 = 8\cdot a_4\) in (II): \(4\cdot a_4 +2\cdot (8\cdot a_4) = 20 \cdot a_4=24 \Leftrightarrow a_4= \frac{24}{20}=\frac{6}{5}\).

Damit ist \(a_4=\frac{6}{5}\) und \( a_2 = 8\cdot a_4= 8 \cdot \frac{6}{5}=\frac{48}{5}\).

Zudem ist bekannt, dass \(f(1)=9\) und damit \(f(1)=a_4+a_2+a_0=\frac{6}{5}+\frac{48}{5}+a_0=9 \Leftrightarrow a_0=-\frac{9}{5}\).

Die Funktionsgleichung lautet damit insgesamt \(f(x)=\frac{6}{5}x^4+\frac{48}{5}x^2-\frac{9}{5}\).