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Änderungen von Dokument Lösung Polynomfunktion Grad 4

Zuletzt geändert von kickoff kickoff am 2023/10/13 08:15
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
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1 -Wegen der Achsensymmetrie zur y-Achse hat die gesucht Funktionsgleichung folgende Form:
2 -
3 -[[image:loesung_3cdbad5da9f80a16.gif||height="21" width="152"]]
4 -
5 -Die erste Ableitung lautet wie folgt:
6 -
7 -[[image:loesung_42748cdb2f89d9a3.gif||height="21" width="145"]]
8 -
9 -Wie man an der Funktionsgleichung von //f// sieht, müssen wir 3 Parameter bestimmen: //a//, //b// und //c.//
10 -
11 -Dass[[image:loesung_b2e8c5ebb0c19ac1.gif||height="19" width="67"]] auf //K// liegt, lässt sich wie folgt ausdrücken:
12 -
13 -1. [[image:loesung_dc8a5dccb6d0d20.gif||height="19" width="76"]]
14 -
15 -Da wir die y-Koordinate des Hochpunktes von //K// nicht kennen, wissen wir also nur, dass[[image:loesung_58de57d3c53a5a25.gif||height="18" width="45"]] eine Extremstelle von //f// ist, d.h. es gilt:
16 -
17 -1. [[image:loesung_4135c62309272d58.gif||height="19" width="75"]]
18 -
19 -Schließlich wissen wir noch, dass //K// an der Stelle[[image:loesung_a79030b999ec0512.gif||height="18" width="44"]] die Steigung 24 besitzt, also:
20 -
21 -1. [[image:loesung_72370645b39a084a.gif||height="19" width="83"]]
22 -
23 -Aus diesen Bedingungen ergibt sich unter Verwendung der obigen Funktionsgleichungen folgendes LGS:
24 -
25 -1. [[image:loesung_cb140793a0031f3d.gif||height="20" width="132"]]
26 -1. [[image:loesung_42897eec5036f248.gif||height="20" width="119"]]
27 -1. [[image:loesung_545dd99a3e7f57d7.gif||height="20" width="126"]]
28 -
29 -Vollständig ausgewertet sieht das LGS wie folgt aus:
30 -
31 -1. [[image:loesung_5f5dfe8ac1e8c651.gif||height="18" width="96"]]
32 -1. [[image:loesung_589bc35e242d2e7d.gif||height="18" width="95"]]
33 -1. [[image:loesung_85c8a0b0b606e9b8.gif||height="18" width="95"]]
34 -
35 -Wenn wir das Ganze mithilfe einer Koeffizientenmatrix darstellen, sieht es so aus:
36 -
37 -[[image:loesung_990438fc4b1d346c.gif||height="63" width="235"]]
38 -
39 -[[image:loesung_62e70b57acbe3577.gif||height="63" width="274"]]
40 -
41 -[[image:loesung_60065e2ec6e256bf.gif||height="63" width="286"]]
42 -
43 -[[image:loesung_a2f5a52f018ecaba.gif||height="63" width="156"]]
44 -
45 -Nun liegt das LGS in der Stufenform vor, und wir können es „von unten nach oben“ auflösen.
46 -
47 -Aus Gleichung (IIIb) ergibt sich:
48 -
49 -[[image:loesung_40bcd90db2cba9e0.gif||height="82" width="188"]]
50 -
51 -Einsetzen von[[image:loesung_a1e0406dac32d643.gif||height="18" width="43"]] in Gleichung (IIb) führt zu folgender Rechnung:
52 -
53 -[[image:loesung_14b8fbace31fb038.gif||height="38" width="137"]]
54 -
55 -
56 -Einsetzen von[[image:loesung_a1e0406dac32d643.gif||height="18" width="43"]] und[[image:loesung_80f8efea713de3e5.gif||height="18" width="52"]] in Gleichung (I) erlaubt uns schließlich die Bestimmung des letzten noch unbekannten Parameters:
57 -
58 -[[image:loesung_5f05679ee918210c.gif||height="77" width="218"]]
59 -
60 -Damit ist die Funktionsgleichung von //f// vollständig bestimmt und lautet wie folgt:
61 -
62 -[[image:loesung_fa8619c45c11c3bc.gif||height="21" width="164"]]
63 -
64 -Mit [[GeoGebra>>url:https://www.geogebra.org/calculator]] lässt sich leicht überprüfen, dass die ermittelte Funktionsgleichung einen Graphen mit den geforderten Eigenschaften besitzt.
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