Zum Inhalt springen
Zuletzt geändert von kickoff kickoff am 2023/10/13 06:15
Verstecke letzte Bearbeiter
kickoff kickoff 27.1 1 Wegen der Achsensymmetrie zur y-Achse hat die gesuchte Funktionsgleichung folgende Form:
kickoff kickoff 2.1 2
kickoff kickoff 31.1 3 {{formula}} f(x)=a \cdot x^4 + b \cdot x^2 + c {{/formula}}
kickoff kickoff 28.1 4
kickoff kickoff 2.1 5 Die erste Ableitung lautet wie folgt:
6
kickoff kickoff 33.1 7 {{formula}} f'(x)=4 \cdot a \cdot x^3 + 2 \cdot b \cdot x {{/formula}}
kickoff kickoff 2.1 8
9 Wie man an der Funktionsgleichung von //f// sieht, müssen wir 3 Parameter bestimmen: //a//, //b// und //c.//
10
kickoff kickoff 34.1 11 Dass {{formula}} P(1 \mid 19) {{/formula}} auf //K// liegt, lässt sich wie folgt ausdrücken:
kickoff kickoff 2.1 12
13 1. [[image:loesung_dc8a5dccb6d0d20.gif||height="19" width="76"]]
14
15 Da wir die y-Koordinate des Hochpunktes von //K// nicht kennen, wissen wir also nur, dass[[image:loesung_58de57d3c53a5a25.gif||height="18" width="45"]] eine Extremstelle von //f// ist, d.h. es gilt:
16
17 1. [[image:loesung_4135c62309272d58.gif||height="19" width="75"]]
18
19 Schließlich wissen wir noch, dass //K// an der Stelle[[image:loesung_a79030b999ec0512.gif||height="18" width="44"]] die Steigung 24 besitzt, also:
20
21 1. [[image:loesung_72370645b39a084a.gif||height="19" width="83"]]
22
23 Aus diesen Bedingungen ergibt sich unter Verwendung der obigen Funktionsgleichungen folgendes LGS:
24
25 1. [[image:loesung_cb140793a0031f3d.gif||height="20" width="132"]]
26 1. [[image:loesung_42897eec5036f248.gif||height="20" width="119"]]
27 1. [[image:loesung_545dd99a3e7f57d7.gif||height="20" width="126"]]
28
29 Vollständig ausgewertet sieht das LGS wie folgt aus:
30
31 1. [[image:loesung_5f5dfe8ac1e8c651.gif||height="18" width="96"]]
32 1. [[image:loesung_589bc35e242d2e7d.gif||height="18" width="95"]]
33 1. [[image:loesung_85c8a0b0b606e9b8.gif||height="18" width="95"]]
34
35 Wenn wir das Ganze mithilfe einer Koeffizientenmatrix darstellen, sieht es so aus:
36
37 [[image:loesung_990438fc4b1d346c.gif||height="63" width="235"]]
38
39 [[image:loesung_62e70b57acbe3577.gif||height="63" width="274"]]
40
41 [[image:loesung_60065e2ec6e256bf.gif||height="63" width="286"]]
42
43 [[image:loesung_a2f5a52f018ecaba.gif||height="63" width="156"]]
44
45 Nun liegt das LGS in der Stufenform vor, und wir können es „von unten nach oben“ auflösen.
46
47 Aus Gleichung (IIIb) ergibt sich:
48
49 [[image:loesung_40bcd90db2cba9e0.gif||height="82" width="188"]]
50
51 Einsetzen von[[image:loesung_a1e0406dac32d643.gif||height="18" width="43"]] in Gleichung (IIb) führt zu folgender Rechnung:
52
53 [[image:loesung_14b8fbace31fb038.gif||height="38" width="137"]]
54
55
56 Einsetzen von[[image:loesung_a1e0406dac32d643.gif||height="18" width="43"]] und[[image:loesung_80f8efea713de3e5.gif||height="18" width="52"]] in Gleichung (I) erlaubt uns schließlich die Bestimmung des letzten noch unbekannten Parameters:
57
58 [[image:loesung_5f05679ee918210c.gif||height="77" width="218"]]
59
60 Damit ist die Funktionsgleichung von //f// vollständig bestimmt und lautet wie folgt:
61
62 [[image:loesung_fa8619c45c11c3bc.gif||height="21" width="164"]]
63
64 Mit [[GeoGebra>>url:https://www.geogebra.org/calculator]] lässt sich leicht überprüfen, dass die ermittelte Funktionsgleichung einen Graphen mit den geforderten Eigenschaften besitzt.