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Zuletzt geändert von akukin am 2024/01/18 10:51
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,17 +1,17 @@
1 -[[image:Kirchenfenster.PNG||width="250" style="float: right"]]
1 +[[image:Kirchenfenster.PNG||width="350" style="float: right"]]
2 2  
3 3  Für den Flächeninhalt und Umfang des Rechtecks und Halbkreises gilt:
4 4  
5 5  {{formula}}A_{Rechteck} = x \cdot y{{/formula}}
6 -{{formula}}A_{Halbkreis} = \pi \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2}{{/formula}} {{formula}}A_{Kreis}= \pi \cdot r^2{{/formula}}
6 +{{formula}}A_{Halbkreis} = \pi \bigl(\frac{1}{2}y \bigl)^2 \cdot \frac{1}{2}{{/formula}} {{formula}}A_{Kreis}= \pi \cdot r^2{{/formula}}
7 7  {{formula}} U_{Rechteck} = 2x+y {{/formula}}
8 -{{formula}}U_{Halbkreis} = 2\pi \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl) \cdot \frac{1}{2}{{/formula}} {{formula}}U_{Kreis}=2\pi r{{/formula}}
8 +{{formula}}U_{Halbkreis} = 2\pi \bigl(\frac{1}{2}y \bigl) \cdot \frac{1}{2}{{/formula}} {{formula}}U_{Kreis}=2\pi r{{/formula}}
9 9  
10 10  Die Hauptbedingung lautet
11 -{{formula}}L= x\cdot y \cdot 0,9 + \pi \cdot \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7{{/formula}}.
11 +{{formula}}L= x\cdot y \cdot 0,9 + \pi \cdot \bigl(\frac{1}{2}y \bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7{{/formula}}.
12 12  
13 13  Die Nebenbedingung lautet
14 -{{formula}} U= 2x + y + 2\pi \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl) \cdot \frac{1}{2} = 3,5 {{/formula}}.
14 +{{formula}} U= 2x + y + 2\pi \bigl(\frac{1}{2}y \bigl) \cdot \frac{1}{2} = 3,5 {{/formula}}.
15 15  
16 16  Nach Umstellen der Nebenbedingung nach {{formula}}x{{/formula}} ergibt sich
17 17  {{formula}}x = - \frac{1}{2}y - \frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75{{/formula}}
... ... @@ -20,12 +20,12 @@
20 20  
21 21  {{formula}}
22 22  \begin{align*}
23 -L(y) &= \Bigl(-\frac{1}{2}y-\frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75\Bigl)\cdot y \cdot 0,9 +\pi \cdot \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7\\
23 +L(y) &= \Bigl(-\frac{1}{2}y-\frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75\Bigl)\cdot y \cdot 0,9 +\pi \cdot \bigl(\frac{1}{2}y \bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7\\
24 24  &=-0,45y^2-0,225\piy^2+0,0875\pi y^2+1,575y
25 25  \end{align*}
26 26  {{/formula}}
27 27  
28 -Mit den ersten beiden Ableitungen
28 +mit den ersten beiden Ableitungen
29 29  {{formula}}L'(y)= -0,9y-0,45 \pi y+ 0,175 \pi y+ 1,575{{/formula}}
30 30  {{formula}}L''(y)\approx -1,76{{/formula}}.
31 31  
... ... @@ -34,18 +34,19 @@
34 34  und somit folgt nach Umstellen {{formula}}y\approx 0,893{{/formula}}.
35 35  
36 36  Nun muss noch die hinreichende Bedingung ({{formula}}L''(y) \neq 0{{/formula}}) geprüft werden:
37 +
37 37  {{formula}}L''(0,893)\approx -1,76 <0 \rightarrow{{/formula}} Maximum
38 38  
39 -An den Randwerten des Definitionsbereiches {{formula}}D=]0;\frac{4}{\pi +1]{{/formula}} erhält man
40 +An den Randwerten des Definitionsbereiches {{formula}}D=]0;\frac{4}{\pi +1}]{{/formula}} erhält man
40 40  {{formula}}L(0)=0{{/formula}} und {{formula}}L(\frac{4}{\pi+1})\approx 0,698{{/formula}}.
41 41  
42 -Demnach liegt bei {{formula}}y \approx 0,893{{/formula}} ein globales Maximum vor, denn {{formula}}L(0,893)\approx 0,703 > L(\frac{4}{\pi+1})\approx 0,698{{/formula}} (und L(0,893)>L(0)=0).
43 +Demnach liegt bei {{formula}}y \approx 0,893{{/formula}} ein globales Maximum vor, denn {{formula}}L(0,893)\approx 0,703 > L(\frac{4}{\pi+1})\approx 0,698{{/formula}} (und {{formula}}L(0,893)>L(0)=0{{/formula}}).
43 43  
44 44  Für {{formula}}x{{/formula}} ergibt sich also
45 -{{formula}}x= -\frac{1}{2}0,893- \frac{\frac{1}{2}\pi \cdot 0,893}{2}+1,75 \approx 0,60{{/formula}}
46 +{{formula}}x= -\frac{1}{2}\cdot 0,893- \frac{\frac{1}{2}\pi \cdot 0,893}{2}+1,75 \approx 0,60{{/formula}}
46 46  
47 47  Schlussendlich erhält man
48 48  {{formula}}A_{Rechteck, max}=0,6 \cdot 0,893 = 0,5358{{/formula}}m^^2^^
49 -{{formula}}A_{Hakbkreis, max}= \pi \cdot (\frac{1}{2}0,893)^2\cdot \frac{1}{2} \approx 0,31{{/formula}}m^^2^^
50 +{{formula}}A_{Haklkreis, max}= \pi \cdot (\frac{1}{2}\cdot 0,893)^2\cdot \frac{1}{2} \approx 0,31{{/formula}}m^^2^^
50 50  und damit
51 51  {{formula}}A_{ges,max}= 0,5358{{/formula}}m^^2^^ {{formula}}+0,31{{/formula}}m^^2^^ {{formula}}=0,8458{{/formula}}m^^2^^