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Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

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1		-XWiki.akukin
	1	+XWiki.martinstern

Inhalt

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1		-[[image:Kirchenfenster.PNG||width="350" style="float: right"]]
2		-
3		-Für den Flächeninhalt und Umfang des Rechtecks und Halbkreises gilt:
4		-
5		-{{formula}}A_{Rechteck} = x \cdot y{{/formula}}
6		-{{formula}}A_{Halbkreis} = \pi \bigl(\frac{1}{2}y \bigl)^2 \cdot \frac{1}{2}{{/formula}} {{formula}}A_{Kreis}= \pi \cdot r^2{{/formula}}
7		-{{formula}} U_{Rechteck} = 2x+y {{/formula}}
8		-{{formula}}U_{Halbkreis} = 2\pi \bigl(\frac{1}{2}y \bigl) \cdot \frac{1}{2}{{/formula}} {{formula}}U_{Kreis}=2\pi r{{/formula}}
9		-
10		-Die Hauptbedingung lautet
11		-{{formula}}L= x\cdot y \cdot 0,9 + \pi \cdot \bigl(\frac{1}{2}y \bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7{{/formula}}.
12		-
13		-Die Nebenbedingung lautet
14		-{{formula}} U= 2x + y + 2\pi \bigl(\frac{1}{2}y \bigl) \cdot \frac{1}{2} = 3,5 {{/formula}}.
15		-
16		-Nach Umstellen der Nebenbedingung nach {{formula}}x{{/formula}} ergibt sich
17		-{{formula}}x = - \frac{1}{2}y - \frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75{{/formula}}
18		-
19		-Einsetzen von {{formula}}x{{/formula}} in die Hauptbedingung liefert nun unsere Zielfunktion
20		-
21		-{{formula}}
22		-\begin{align*}
23		-L(y) &= \Bigl(-\frac{1}{2}y-\frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75\Bigl)\cdot y \cdot 0,9 +\pi \cdot \bigl(\frac{1}{2}y \bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7\\
24		-&=-0,45y^2-0,225\piy^2+0,0875\pi y^2+1,575y
25		-\end{align*}
26		-{{/formula}}
27		-
28		-mit den ersten beiden Ableitungen
29		-{{formula}}L'(y)= -0,9y-0,45 \pi y+ 0,175 \pi y+ 1,575{{/formula}}
30		-{{formula}}L''(y)\approx -1,76{{/formula}}.
31		-
32		-Durch die notwendige Bedingung {{formula}}L'(y)=0{{/formula}} ergibt sich
33		-{{formula}}0=-0,9y-0,45 \pi y+ 0,175 \pi y+ 1,575{{/formula}}
34		-und somit folgt nach Umstellen {{formula}}y\approx 0,893{{/formula}}.
35		-
36		-Nun muss noch die hinreichende Bedingung ({{formula}}L''(y) \neq 0{{/formula}}) geprüft werden:
37		-
38		-{{formula}}L''(0,893)\approx -1,76 <0 \rightarrow{{/formula}} Maximum
39		-
40		-An den Randwerten des Definitionsbereiches {{formula}}D=]0;\frac{4}{\pi +1}]{{/formula}} erhält man
41		-{{formula}}L(0)=0{{/formula}} und {{formula}}L(\frac{4}{\pi+1})\approx 0,698{{/formula}}.
42		-
43		-Demnach liegt bei {{formula}}y \approx 0,893{{/formula}} ein globales Maximum vor, denn {{formula}}L(0,893)\approx 0,703 > L(\frac{4}{\pi+1})\approx 0,698{{/formula}} (und {{formula}}L(0,893)>L(0)=0{{/formula}}).
44		-
45		-Für {{formula}}x{{/formula}} ergibt sich also
46		-{{formula}}x= -\frac{1}{2}\cdot 0,893- \frac{\frac{1}{2}\pi \cdot 0,893}{2}+1,75 \approx 0,60{{/formula}}
47		-
48		-Schlussendlich erhält man
49		-{{formula}}A_{Rechteck, max}=0,6 \cdot 0,893 = 0,5358{{/formula}}m^^2^^
50		-{{formula}}A_{Haklkreis, max}= \pi \cdot (\frac{1}{2}\cdot 0,893)^2\cdot \frac{1}{2} \approx 0,31{{/formula}}m^^2^^
51		-und damit
52		-{{formula}}A_{ges,max}= 0,5358{{/formula}}m^^2^^ {{formula}}+0,31{{/formula}}m^^2^^ {{formula}}=0,8458{{/formula}}m^^2^^
	1	+[[image:L16.png]]
	2	+[[image:L17.png]]
	3	+[[image:L18.png]]

Kirchenfenster.PNG

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1		-XWiki.akukin

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