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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,4 +1,51 @@
1		-[[image:L16.png]]
2		-[[image:L17.png]]
3		-[[image:L18.png]]
	1	+[[image:Kirchenfenster.PNG||width="250" style="float: right"]]
4	4
	3	+Für den Flächeninhalt und Umfang des Rechtecks und Halbkreises gilt:
	4	+
	5	+{{formula}}A_{Rechteck} = x \cdot y{{/formula}}
	6	+{{formula}}A_{Halbkreis} = \pi \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2}{{/formula}} {{formula}}A_{Kreis}= \pi \cdot r^2{{/formula}}
	7	+{{formula}} U_{Rechteck} = 2x+y {{/formula}}
	8	+{{formula}}U_{Halbkreis} = 2\pi \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl) \cdot \frac{1}{2}{{/formula}} {{formula}}U_{Kreis}=2\pi r{{/formula}}
	9	+
	10	+Die Hauptbedingung lautet
	11	+{{formula}}L= x\cdot y \cdot 0,9 + \pi \cdot \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7{{/formula}}.
	12	+
	13	+Die Nebenbedingung lautet
	14	+{{formula}} U= 2x + y + 2\pi \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl) \cdot \frac{1}{2} = 3,5 {{/formula}}.
	15	+
	16	+Nach Umstellen der Nebenbedingung nach {{formula}}x{{/formula}} ergibt sich
	17	+{{formula}}x = - \frac{1}{2}y - \frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75{{/formula}}
	18	+
	19	+Einsetzen von {{formula}}x{{/formula}} in die Hauptbedingung liefert nun unsere Zielfunktion
	20	+
	21	+{{formula}}
	22	+\begin{align*}
	23	+L(y) &= \Bigl(-\frac{1}{2}y-\frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75\Bigl)\cdot y \cdot 0,9 +\pi \cdot \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7\\
	24	+&=-0,45y^2-0,225\piy^2+0,0875\pi y^2+1,575y
	25	+\end{align*}
	26	+{{/formula}}
	27	+
	28	+Mit den ersten beiden Ableitungen
	29	+{{formula}}L'(y)= -0,9y-0,45 \pi y+ 0,175 \pi y+ 1,575{{/formula}}
	30	+{{formula}}L''(y)\approx -1,76{{/formula}}.
	31	+
	32	+Durch die notwendige Bedingung {{formula}}L'(y)=0{{/formula}} ergibt sich
	33	+{{formula}}0=-0,9y-0,45 \pi y+ 0,175 \pi y+ 1,575{{/formula}}
	34	+und somit folgt nach Umstellen {{formula}}y\approx 0,893{{/formula}}.
	35	+
	36	+Nun muss noch die hinreichende Bedingung ({{formula}}L''(y) \neq 0{{/formula}}) geprüft werden:
	37	+{{formula}}L''(0,893)\approx -1,76 <0 \rightarrow{{/formula}} Maximum
	38	+
	39	+An den Randwerten des Definitionsbereiches {{formula}}D=]0;\frac{4}{\pi +1]{{/formula}} erhält man
	40	+{{formula}}L(0)=0{{/formula}} und {{formula}}L(\frac{4}{\pi+1})\approx 0,698{{/formula}}.
	41	+
	42	+Demnach liegt bei {{formula}}y \approx 0,893{{/formula}} ein globales Maximum vor, denn {{formula}}L(0,893)\approx 0,703 > L(\frac{4}{\pi+1})\approx 0,698{{/formula}} (und L(0,893)>L(0)=0).
	43	+
	44	+Für {{formula}}x{{/formula}} ergibt sich also
	45	+{{formula}}x= -\frac{1}{2}0,893- \frac{\frac{1}{2}\pi \cdot 0,893}{2}+1,75 \approx 0,60{{/formula}}
	46	+
	47	+Schlussendlich erhält man
	48	+{{formula}}A_{Rechteck, max}=0,6 \cdot 0,893 = 0,5358{{/formula}}m^^2^^
	49	+{{formula}}A_{Hakbkreis, max}= \pi \cdot (\frac{1}{2}0,893)^2\cdot \frac{1}{2} \approx 0,31{{/formula}}m^^2^^
	50	+und damit
	51	+{{formula}}A_{ges,max}= 0,5358{{/formula}}m^^2^^ {{formula}}+0,31{{/formula}}m^^2^^ {{formula}}=0,8458{{/formula}}m^^2^^