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Version 9.1 von akukin am 2024/01/13 21:09

Kirchenfenster.PNG

Für den Flächeninhalt und Umfang des Rechtecks und Halbkreises gilt:

A_{Rechteck} = x \cdot y
A_{Halbkreis} = \pi \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} A_{Kreis}= \pi \cdot r^2
U_{Rechteck} = 2x+y
U_{Halbkreis} = 2\pi \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl) \cdot \frac{1}{2} U_{Kreis}=2\pi r

Die Hauptbedingung lautet
L= x\cdot y \cdot 0,9 + \pi \cdot \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7.

Die Nebenbedingung lautet
U= 2x + y + 2\pi \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl) \cdot \frac{1}{2} = 3,5 .

Nach Umstellen der Nebenbedingung nach x ergibt sich
x = - \frac{1}{2}y - \frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75

Einsetzen von x in die Hauptbedingung liefert nun unsere Zielfunktion

\begin{align*} L(y) &= \Bigl(-\frac{1}{2}y-\frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75\Bigl)\cdot y \cdot 0,9 +\pi \cdot \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7\\ &=-0,45y^2-0,225\piy^2+0,0875\pi y^2+1,575y \end{align*}

Mit den ersten beiden Ableitungen
L'(y)= -0,9y-0,45 \pi y+ 0,175 \pi y+ 1,575
L''(y)\approx -1,76.

Durch die notwendige Bedingung L'(y)=0 ergibt sich
0=-0,9y-0,45 \pi y+ 0,175 \pi y+ 1,575
und somit folgt nach Umstelleny\approx 0,893.

Nun muss noch die hinreichende Bedingung (L''(y) \neq 0) geprüft werden
L''(0,893)\approx -1,76 <0 \rightarrow Maximum