Wiki-Quellcode von Lösung Fenster
Verstecke letzte Bearbeiter
| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
 |
8.1 | 1 | [[image:Kirchenfenster.PNG||width="250" style="float: right"]] |
| |
6.1 | 2 | |
| |
8.1 | 3 | Für den Flächeninhalt und Umfang des Rechtecks und Halbkreises gilt: |
| 4 | |||
| 5 | {{formula}}A_{Rechteck} = x \cdot y{{/formula}} | ||
| 6 | {{formula}}A_{Halbkreis} = \pi \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2}{{/formula}} {{formula}}A_{Kreis}= \pi \cdot r^2{{/formula}} | ||
| 7 | {{formula}} U_{Rechteck} = 2x+y {{/formula}} | ||
| 8 | {{formula}}U_{Halbkreis} = 2\pi \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl) \cdot \frac{1}{2}{{/formula}} {{formula}}U_{Kreis}=2\pi r{{/formula}} | ||
| 9 | |||
| 10 | Die Hauptbedingung lautet | ||
| 11 | {{formula}}L= x\cdot y \cdot 0,9 + \pi \cdot \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7{{/formula}}. | ||
| 12 | |||
| 13 | Die Nebenbedingung lautet | ||
| 14 | {{formula}} U= 2x + y + 2\pi \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl) \cdot \frac{1}{2} = 3,5 {{/formula}}. | ||
| 15 | |||
| 16 | Nach Umstellen der Nebenbedingung nach {{formula}}x{{/formula}} ergibt sich | ||
| 17 | {{formula}}x = - \frac{1}{2}y - \frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75{{/formula}} | ||
| 18 | |||
| |
9.1 | 19 | Einsetzen von {{formula}}x{{/formula}} in die Hauptbedingung liefert nun unsere Zielfunktion |
| 20 | |||
| 21 | {{formula}} | ||
| 22 | \begin{align*} | ||
| 23 | L(y) &= \Bigl(-\frac{1}{2}y-\frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75\Bigl)\cdot y \cdot 0,9 +\pi \cdot \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7\\ | ||
| |
8.1 | 24 | &=-0,45y^2-0,225\piy^2+0,0875\pi y^2+1,575y |
| |
9.1 | 25 | \end{align*} |
| |
8.1 | 26 | {{/formula}} |
| 27 | |||
| |
9.1 | 28 | Mit den ersten beiden Ableitungen |
| |
8.1 | 29 | {{formula}}L'(y)= -0,9y-0,45 \pi y+ 0,175 \pi y+ 1,575{{/formula}} |
| |
9.1 | 30 | {{formula}}L''(y)\approx -1,76{{/formula}}. |
| |
8.1 | 31 | |
| |
9.1 | 32 | Durch die notwendige Bedingung {{formula}}L'(y)=0{{/formula}} ergibt sich |
| |
8.1 | 33 | {{formula}}0=-0,9y-0,45 \pi y+ 0,175 \pi y+ 1,575{{/formula}} |
| |
9.1 | 34 | und somit folgt nach Umstellen{{formula}}y\approx 0,893{{/formula}}. |
| 35 | |||
| 36 | Nun muss noch die hinreichende Bedingung ({{formula}}L''(y) \neq 0{{/formula}}) geprüft werden | ||
| |
8.1 | 37 | {{formula}}L''(0,893)\approx -1,76 <0 \rightarrow{{/formula}} Maximum |
| 38 | |||
| 39 |