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Wiki-Quellcode von Lösung Fenster

Version 9.1 von akukin am 2024/01/13 21:09
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1 [[image:Kirchenfenster.PNG||width="250" style="float: right"]]
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3 Für den Flächeninhalt und Umfang des Rechtecks und Halbkreises gilt:
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5 {{formula}}A_{Rechteck} = x \cdot y{{/formula}}
6 {{formula}}A_{Halbkreis} = \pi \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2}{{/formula}} {{formula}}A_{Kreis}= \pi \cdot r^2{{/formula}}
7 {{formula}} U_{Rechteck} = 2x+y {{/formula}}
8 {{formula}}U_{Halbkreis} = 2\pi \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl) \cdot \frac{1}{2}{{/formula}} {{formula}}U_{Kreis}=2\pi r{{/formula}}
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10 Die Hauptbedingung lautet
11 {{formula}}L= x\cdot y \cdot 0,9 + \pi \cdot \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7{{/formula}}.
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13 Die Nebenbedingung lautet
14 {{formula}} U= 2x + y + 2\pi \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl) \cdot \frac{1}{2} = 3,5 {{/formula}}.
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16 Nach Umstellen der Nebenbedingung nach {{formula}}x{{/formula}} ergibt sich
17 {{formula}}x = - \frac{1}{2}y - \frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75{{/formula}}
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19 Einsetzen von {{formula}}x{{/formula}} in die Hauptbedingung liefert nun unsere Zielfunktion
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21 {{formula}}
22 \begin{align*}
23 L(y) &= \Bigl(-\frac{1}{2}y-\frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75\Bigl)\cdot y \cdot 0,9 +\pi \cdot \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7\\
24 &=-0,45y^2-0,225\piy^2+0,0875\pi y^2+1,575y
25 \end{align*}
26 {{/formula}}
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28 Mit den ersten beiden Ableitungen
29 {{formula}}L'(y)= -0,9y-0,45 \pi y+ 0,175 \pi y+ 1,575{{/formula}}
30 {{formula}}L''(y)\approx -1,76{{/formula}}.
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32 Durch die notwendige Bedingung {{formula}}L'(y)=0{{/formula}} ergibt sich
33 {{formula}}0=-0,9y-0,45 \pi y+ 0,175 \pi y+ 1,575{{/formula}}
34 und somit folgt nach Umstellen{{formula}}y\approx 0,893{{/formula}}.
35
36 Nun muss noch die hinreichende Bedingung ({{formula}}L''(y) \neq 0{{/formula}}) geprüft werden
37 {{formula}}L''(0,893)\approx -1,76 <0 \rightarrow{{/formula}} Maximum