Änderungen von Dokument Lösung Fluß
Zuletzt geändert von akukin am 2024/02/02 18:18
Zusammenfassung
-
Seiteneigenschaften (1 geändert, 0 hinzugefügt, 0 gelöscht)
Details
- Seiteneigenschaften
-
- Inhalt
-
... ... @@ -1,10 +1,10 @@ 1 -[[image:Fluss.PNG||width="2 80" style="float: right"]]1 +[[image:Fluss.PNG||width="220" style="float: right"]] 2 2 3 3 __Gegeben:__ {{formula}} \overline{AD}= 500\text{m}; \overline{BC}= 1000\text{m};{{/formula}} 4 -Geschwindigkeit von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}D{{/formula}}: {{formula}}v_{AD}= 50 \frac{\text{m}}{\text{min}}{{/formula}};5 -Geschwindigkeit von {{formula}}D{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}}: {{formula}}v_{DC}= 300 \frac{\text{m} }{\text{min}{{/formula}}4 +Geschwindigkeit von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}D{{/formula}}: {{formula}}v_{AD}= 50 {{/formula}}; 5 +Geschwindigkeit von {{formula}}D{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}}: {{formula}}v_{DC}= 300 \frac{\text{m}{\text{min}{{/formula}} 6 6 7 -__Gesucht:__ {{formula}}x{{/formula}}7 +__Gesucht:__ x 8 8 9 9 Da der Sportler den Weg von {{formula}}D{{/formula}} zu {{formula}}C{{/formula}} 6 mal so schnell zurücklegt, wie den von {{formula}}A{{/formula}} zu {{formula}}D{{/formula}}, lautet die Hauptbedingung: 10 10 {{formula}}S = 6 \cdot \overline{AD} + \overline {DC}{{/formula}} ... ... @@ -16,26 +16,6 @@ 16 16 Somit lautet die Zielfunktion: 17 17 {{formula}}S(x)= 6 \cdot \sqrt{500^2+x^2} + 1000 - x {{/formula}} 18 18 19 -mit den Ableitungen 20 20 21 -{{formula}}S'(x)= \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1{{/formula}} 22 -{{formula}}S''(x)= 6x \bigl(-\frac{1}{2}(500^2+x^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot 2x \bigl) + 6(500^2+x^2)^{-\frac{1}{2}}{{/formula}} 23 23 24 -Durch die notwendige Bedingung {{formula}}S'(x)=0{{/formula}} ergibt sich 25 25 26 -{{formula}} 27 -\begin{align*} 28 -&\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1&=&\: 0 &\: \mid +1\\ 29 -\Leftrightarrow &\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}&=&\: 1 &\: \mid \cdot \sqrt{500^2+x^2}\\ 30 -\Leftrightarrow &\: 6x &=&\: \sqrt{500^2+x^2} &\: \mid ()^2 \\ 31 -\Leftrightarrow &\: 36x^2 &=&\: 500^2+x^2 &\: \mid -x^2 \\ 32 -\Leftrightarrow &\: 35x^2 &=&\: 500^2 &\: \mid :35 \\ 33 -\Leftrightarrow &\: x^2 &=&\: \frac{500^2}{35} &\: \mid \sqrt \\ 34 -\Leftrightarrow &\: x_{1,2} &=&\: \pm \frac{100\sqrt{35}}{7} & 35 -\end{align*} 36 -{{/formula}} 37 - 38 -Aufgrund des Zusammenhanges kommt nur die positive Lösung in Frage. Einsetzen der Lösung in die zweite Ableitung ergibt 39 -{{formula}}S''\bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\bigl) \approx 0,0115 >0 \rightarrow{{/formula}} Minimum 40 - 41 -{{formula}}S\bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\bigl) = 6 \cdot \sqrt{500^2+\bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\bigl)^2}+1000 - \frac{100\sqrt{35}}{7} \approx 3958,04{{/formula}}