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Änderungen von Dokument Lösung Fluß

Zuletzt geändert von akukin am 2024/02/02 18:18
Von Version 14.1
bearbeitet von akukin
am 2024/01/17 14:40
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,19 +1,20 @@
1 -[[image:Fluss.PNG||width="280" style="float: right"]]
1 +[[image:Fluss.PNG||width="350" style="float: right"]]
2 2  
3 3  __Gegeben:__ {{formula}} \overline{AD}= 500\text{m}; \overline{BC}= 1000\text{m};{{/formula}}
4 4  Geschwindigkeit von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}D{{/formula}}: {{formula}}v_{AD}= 50 \frac{\text{m}}{\text{min}}{{/formula}};
5 5  Geschwindigkeit von {{formula}}D{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}}: {{formula}}v_{DC}= 300 \frac{\text{m}}{\text{min}{{/formula}}
6 6  
7 -__Gesucht:__ {{formula}}x{{/formula}}
7 +__Gesucht:__ Wie groß muss {{formula}}x{{/formula}} sein, sodass er möglichst schnell von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}} kommt?
8 8  
9 -Da der Sportler den Weg von {{formula}}D{{/formula}} zu {{formula}}C{{/formula}} 6 mal so schnell zurücklegt, wie den von {{formula}}A{{/formula}} zu {{formula}}D{{/formula}}, lautet die Hauptbedingung:
9 +Da der Sportler den Weg von {{formula}}D{{/formula}} zu {{formula}}C{{/formula}} 6 mal so schnell zurücklegt, wie den von {{formula}}A{{/formula}} zu {{formula}}D{{/formula}}, lautet die **Hauptbedingung**:
10 +
10 10  {{formula}}S = 6 \cdot \overline{AD} + \overline {DC}{{/formula}}
11 11  
12 -Die Nebenbedingungen lauten:
13 +Die **Nebenbedingungen** lauten:
13 13  {{formula}}\overline{AD}= \sqrt{500^2+x^2}{{/formula}}
14 14  {{formula}}\overline{DC}= 1000 - x{{/formula}}
15 15  
16 -Somit lautet die Zielfunktion:
17 +Somit lautet die **Zielfunktion**:
17 17  {{formula}}S(x)= 6 \cdot \sqrt{500^2+x^2} + 1000 - x {{/formula}}
18 18  
19 19  mit den Ableitungen
... ... @@ -35,7 +35,29 @@
35 35  \end{align*}
36 36  {{/formula}}
37 37  
38 -Aufgrund des Zusammenhanges kommt nur die positive Lösung in Frage. Einsetzen der Lösung in die zweite Ableitung ergibt
39 -{{formula}}S''\bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\bigl) \approx 0,0115 >0 \rightarrow{{/formula}} Minimum
39 +Dabei kommt nur die positive positive Lösung {{formula}}x_1 = \frac{100\sqrt{35}}{7}{{/formula}} in Frage. Einsetzen der Lösung in die zweite Ableitung ergibt
40 +{{formula}}S''\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl) \approx 0,0115 >0 \rightarrow{{/formula}} **Minimum**
40 40  
41 -{{formula}}S\bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\bigl) = 6 \cdot \sqrt{500^2+\bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\bigl)^2}+1000 - \frac{100\sqrt{35}}{7} \approx 3958,04{{/formula}}
42 +Einsetzen in die Zielfunktion liefert
43 +
44 +{{formula}}S\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl) = 6 \cdot \sqrt{500^2+\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl)^2}+1000 - \frac{100\sqrt{35}}{7} \approx 3958,04{{/formula}}.
45 +
46 +An den Randwerten des Definitionsbereiches {{formula}}D=[0;1000]{{/formula}} erhält man
47 +{{formula}}S(0)=4000{{/formula}} und {{formula}}S(1000)\approx 6708{{/formula}}.
48 +
49 +Demnach liegt bei {{formula}}x_1 = \frac{100\sqrt{35}}{7}{{/formula}} ein globales Minimum vor, denn {{formula}}S(x_1)\approx 3958,04 < 4000({{/formula}} (und {{formula}}S(x_1)\approx 3958,04 < 6708{{/formula}}).
50 +
51 +
52 +[[image:Fluss berechnet.PNG||width="250" style="float: right"]]
53 +Nun setzt man {{formula}}x_1{{/formula}} in die NB ein:
54 +{{formula}}\overline{AD}= \sqrt{500^2+\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl)^2}\approx 507,09 \text{m}{{/formula}}
55 +{{formula}}\overline{DC}= 1000 - \frac{100\sqrt{35}}{7} \approx 915,49 \text{m}{{/formula}}
56 +
57 +{{formula}}\implies \overline{AD} + \overline{DC} = 507,09 \text{m}+915,49 \text{m} = 1422,58 \text{m}{{/formula}}
58 +
59 +Für die Dauer ergibt sich jeweils
60 +{{formula}} t_{AD}= \frac{507,09 \text{m}}{50 \frac{\text{m}}{\text{min}}}= 10,14 \text{min}{{/formula}}
61 +{{formula}}t_{DC} = \frac{915,49 \text{m}}{300 \frac{\text{m}}{\text{min}}}= 3,05 \text{min} {{/formula}}
62 +
63 +Und damit insgesamt
64 +{{formula}}t_{ges}=10,14 \text{min}+3,05 \text{min} = 13,19 \text{min} \rightarrow{{/formula}} **13 min 11 sec**
Fluss berechnet.PNG
Author
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +XWiki.akukin
Größe
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1 +29.5 KB
Inhalt