Änderungen von Dokument Lösung Fluß
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Zusammenfassung
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... ... @@ -1,41 +1,4 @@ 1 -[[image:Fluss.PNG||width="280" style="float: right"]] 2 - 3 -__Gegeben:__ {{formula}} \overline{AD}= 500\text{m}; \overline{BC}= 1000\text{m};{{/formula}} 4 -Geschwindigkeit von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}D{{/formula}}: {{formula}}v_{AD}= 50 \frac{\text{m}}{\text{min}}{{/formula}}; 5 -Geschwindigkeit von {{formula}}D{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}}: {{formula}}v_{DC}= 300 \frac{\text{m}}{\text{min}{{/formula}} 6 - 7 -__Gesucht:__ {{formula}}x{{/formula}} 8 - 9 -Da der Sportler den Weg von {{formula}}D{{/formula}} zu {{formula}}C{{/formula}} 6 mal so schnell zurücklegt, wie den von {{formula}}A{{/formula}} zu {{formula}}D{{/formula}}, lautet die Hauptbedingung: 10 -{{formula}}S = 6 \cdot \overline{AD} + \overline {DC}{{/formula}} 11 - 12 -Die Nebenbedingungen lauten: 13 -{{formula}}\overline{AD}= \sqrt{500^2+x^2}{{/formula}} 14 -{{formula}}\overline{DC}= 1000 - x{{/formula}} 15 - 16 -Somit lautet die Zielfunktion: 17 -{{formula}}S(x)= 6 \cdot \sqrt{500^2+x^2} + 1000 - x {{/formula}} 18 - 19 -mit den Ableitungen 20 - 21 -{{formula}}S'(x)= \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1{{/formula}} 22 -{{formula}}S''(x)= 6x \bigl(-\frac{1}{2}(500^2+x^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot 2x \bigl) + 6(500^2+x^2)^{-\frac{1}{2}}{{/formula}} 23 - 24 -Durch die notwendige Bedingung {{formula}}S'(x)=0{{/formula}} ergibt sich 25 - 26 -{{formula}} 27 -\begin{align*} 28 -&\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1&=&\: 0 &\: \mid +1\\ 29 -\Leftrightarrow &\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}&=&\: 1 &\: \mid \cdot \sqrt{500^2+x^2}\\ 30 -\Leftrightarrow &\: 6x &=&\: \sqrt{500^2+x^2} &\: \mid ()^2 \\ 31 -\Leftrightarrow &\: 36x^2 &=&\: 500^2+x^2 &\: \mid -x^2 \\ 32 -\Leftrightarrow &\: 35x^2 &=&\: 500^2 &\: \mid :35 \\ 33 -\Leftrightarrow &\: x^2 &=&\: \frac{500^2}{35} &\: \mid \sqrt \\ 34 -\Leftrightarrow &\: x_{1,2} &=&\: \pm \frac{100\sqrt{35}}{7} & 35 -\end{align*} 36 -{{/formula}} 37 - 38 -Aufgrund des Zusammenhanges kommt nur die positive Lösung in Frage. Einsetzen der Lösung in die zweite Ableitung ergibt 39 -{{formula}}S''\bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\bigl) \approx 0,0115 >0 \rightarrow{{/formula}} Minimum 40 - 41 -{{formula}}S\bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\bigl) = 6 \cdot \sqrt{500^2+\bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\bigl)^2}+1000 - \frac{100\sqrt{35}}{7} \approx 3958,04{{/formula}} 1 +[[image:L12.png]] 2 +[[image:L13.png]] 3 +[[image:L14.png]] 4 +[[image:L15.png]]