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Änderungen von Dokument Lösung Fluß

Zuletzt geändert von akukin am 2024/02/02 18:18
Von Version 15.1
bearbeitet von akukin
am 2024/01/17 16:35
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bearbeitet von akukin
am 2024/01/17 14:10
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,10 +1,10 @@
1 -[[image:Fluss.PNG||width="280" style="float: right"]]
1 +[[image:Fluss.PNG||width="220" style="float: right"]]
2 2  
3 -__Gegeben:__ {{formula}} \overline{AD}= 500\text{m}; \overline{BC}= 1000\text{m};{{/formula}}
4 -Geschwindigkeit von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}D{{/formula}}: {{formula}}v_{AD}= 50 \frac{\text{m}}{\text{min}}{{/formula}};
5 -Geschwindigkeit von {{formula}}D{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}}: {{formula}}v_{DC}= 300 \frac{\text{m}}{\text{min}{{/formula}}
3 +__Gegeben:__ {{formula}} \overline{AD}= 500 \text{m}; \overline{BC}= 1000\text{m};{{/formula}}
4 +Geschwindigkeit von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}D{{/formula}}: {{formula}}v_{AD}= 50 \frac{\text{m}{\text{min}{{/formula}};
5 +Geschwindigkeit von {{formula}}D{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}}: {{formula}}v_{DC}= 300 \frac{\text{m}{\text{min}{{/formula}}
6 6  
7 -__Gesucht:__ Wie groß muss {{formula}}x{{/formula}} sein, sodass er möglichst schnell von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}} kommt?
7 +__Gesucht:__ x
8 8  
9 9  Da der Sportler den Weg von {{formula}}D{{/formula}} zu {{formula}}C{{/formula}} 6 mal so schnell zurücklegt, wie den von {{formula}}A{{/formula}} zu {{formula}}D{{/formula}}, lautet die Hauptbedingung:
10 10  {{formula}}S = 6 \cdot \overline{AD} + \overline {DC}{{/formula}}
... ... @@ -16,45 +16,6 @@
16 16  Somit lautet die Zielfunktion:
17 17  {{formula}}S(x)= 6 \cdot \sqrt{500^2+x^2} + 1000 - x {{/formula}}
18 18  
19 -mit den Ableitungen
20 20  
21 -{{formula}}S'(x)= \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1{{/formula}}
22 -{{formula}}S''(x)= 6x \bigl(-\frac{1}{2}(500^2+x^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot 2x \bigl) + 6(500^2+x^2)^{-\frac{1}{2}}{{/formula}}
23 23  
24 -Durch die notwendige Bedingung {{formula}}S'(x)=0{{/formula}} ergibt sich
25 25  
26 -{{formula}}
27 -\begin{align*}
28 -&\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1&=&\: 0 &\: \mid +1\\
29 -\Leftrightarrow &\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}&=&\: 1 &\: \mid \cdot \sqrt{500^2+x^2}\\
30 -\Leftrightarrow &\: 6x &=&\: \sqrt{500^2+x^2} &\: \mid ()^2 \\
31 -\Leftrightarrow &\: 36x^2 &=&\: 500^2+x^2 &\: \mid -x^2 \\
32 -\Leftrightarrow &\: 35x^2 &=&\: 500^2 &\: \mid :35 \\
33 -\Leftrightarrow &\: x^2 &=&\: \frac{500^2}{35} &\: \mid \sqrt \\
34 -\Leftrightarrow &\: x_{1,2} &=&\: \pm \frac{100\sqrt{35}}{7} &
35 -\end{align*}
36 -{{/formula}}
37 -
38 -Dabei kommt nur die positive positive Lösung {{formula}}x_1 = \frac{100\sqrt{35}}{7}{{/formula}} in Frage. Einsetzen der Lösung in die zweite Ableitung ergibt
39 -{{formula}}S''\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl) \approx 0,0115 >0 \rightarrow{{/formula}} Minimum
40 -
41 -Einsetzen in die Zielfunktion liefert
42 -
43 -{{formula}}S\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl) = 6 \cdot \sqrt{500^2+\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl)^2}+1000 - \frac{100\sqrt{35}}{7} \approx 3958,04{{/formula}}.
44 -
45 -An den Randwerten des Definitionsbereiches {{formula}}D=[0;1000]{{/formula}} erhält man
46 -{{formula}}S(0)=4000{{/formula}} und {{formula}}S(1000)\approx 6708{{/formula}}.
47 -
48 -Demnach liegt bei {{formula}}x_1 = \frac{100\sqrt{35}}{7}{{/formula}} ein globales Minimum vor, denn {{formula}}S(x_1)\approx 3958,04 < 4000({{/formula}} (und {{formula}}S(x_1)\approx 3958,04 < 6708{{/formula}}).
49 -
50 -Nun setzt man {{formula}}x_1{{/formula}} in die NB ein:
51 -{{formula}}\overline{AD}= \sqrt{500^2+\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl)^2}\approx 507,09 \text{m}{{/formula}}
52 -{{formula}}\overline{DC}= 1000 - \frac{100\sqrt{35}}{7} \approx 915,49 \text{m}{{/formula}}
53 -{{formula}}\overline{AD} + \overline{DC} 507,09 \text{m}+915,49 \text{m} = 1422,58 \text{m}{{/formula}}
54 -
55 -Für die Dauer ergibt sich jeweils
56 -{{formula}} t_{AD}= \frac{507,09 \text{m}}{50 \frac{\text{m}}{\text{min}}}= 10,14 \text{min}{{/formula}}
57 -{{formula}}t_{DC} = \frac{915,49 \text{m}}{300 \frac{\text{m}}{\text{min}}}= 3,05 \text{min} {{/formula}}
58 -
59 -Und damit insgesamt
60 -{{formula}}t_{ges}=10,14 \text{min}+3,05 \text{min} = 13,19 \text{min} \rightarrow{{/formula}} 13 min 11 sec