Änderungen von Dokument Lösung Fluß
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Zusammenfassung
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Details
- Seiteneigenschaften
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- Inhalt
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... ... @@ -1,61 +1,4 @@ 1 -[[image:Fluss.PNG||width="280" style="float: right"]] 2 - 3 -__Gegeben:__ {{formula}} \overline{AD}= 500\text{m}; \overline{BC}= 1000\text{m};{{/formula}} 4 -Geschwindigkeit von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}D{{/formula}}: {{formula}}v_{AD}= 50 \frac{\text{m}}{\text{min}}{{/formula}}; 5 -Geschwindigkeit von {{formula}}D{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}}: {{formula}}v_{DC}= 300 \frac{\text{m}}{\text{min}{{/formula}} 6 - 7 -__Gesucht:__ Wie groß muss {{formula}}x{{/formula}} sein, sodass er möglichst schnell von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}} kommt? 8 - 9 -Da der Sportler den Weg von {{formula}}D{{/formula}} zu {{formula}}C{{/formula}} 6 mal so schnell zurücklegt, wie den von {{formula}}A{{/formula}} zu {{formula}}D{{/formula}}, lautet die **Hauptbedingung**: 10 - 11 -{{formula}}S = 6 \cdot \overline{AD} + \overline {DC}{{/formula}} 12 - 13 -Die **Nebenbedingungen** lauten: 14 -{{formula}}\overline{AD}= \sqrt{500^2+x^2}{{/formula}} 15 -{{formula}}\overline{DC}= 1000 - x{{/formula}} 16 - 17 -Somit lautet die **Zielfunktion**: 18 -{{formula}}S(x)= 6 \cdot \sqrt{500^2+x^2} + 1000 - x {{/formula}} 19 - 20 -mit den Ableitungen 21 - 22 -{{formula}}S'(x)= \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1{{/formula}} 23 -{{formula}}S''(x)= 6x \bigl(-\frac{1}{2}(500^2+x^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot 2x \bigl) + 6(500^2+x^2)^{-\frac{1}{2}}{{/formula}} 24 - 25 -Durch die notwendige Bedingung {{formula}}S'(x)=0{{/formula}} ergibt sich 26 - 27 -{{formula}} 28 -\begin{align*} 29 -&\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1&=&\: 0 &\: \mid +1\\ 30 -\Leftrightarrow &\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}&=&\: 1 &\: \mid \cdot \sqrt{500^2+x^2}\\ 31 -\Leftrightarrow &\: 6x &=&\: \sqrt{500^2+x^2} &\: \mid ()^2 \\ 32 -\Leftrightarrow &\: 36x^2 &=&\: 500^2+x^2 &\: \mid -x^2 \\ 33 -\Leftrightarrow &\: 35x^2 &=&\: 500^2 &\: \mid :35 \\ 34 -\Leftrightarrow &\: x^2 &=&\: \frac{500^2}{35} &\: \mid \sqrt \\ 35 -\Leftrightarrow &\: x_{1,2} &=&\: \pm \frac{100\sqrt{35}}{7} & 36 -\end{align*} 37 -{{/formula}} 38 - 39 -Dabei kommt nur die positive positive Lösung {{formula}}x_1 = \frac{100\sqrt{35}}{7}{{/formula}} in Frage. Einsetzen der Lösung in die zweite Ableitung ergibt 40 -{{formula}}S''\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl) \approx 0,0115 >0 \rightarrow{{/formula}} Minimum 41 - 42 -Einsetzen in die Zielfunktion liefert 43 - 44 -{{formula}}S\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl) = 6 \cdot \sqrt{500^2+\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl)^2}+1000 - \frac{100\sqrt{35}}{7} \approx 3958,04{{/formula}}. 45 - 46 -An den Randwerten des Definitionsbereiches {{formula}}D=[0;1000]{{/formula}} erhält man 47 -{{formula}}S(0)=4000{{/formula}} und {{formula}}S(1000)\approx 6708{{/formula}}. 48 - 49 -Demnach liegt bei {{formula}}x_1 = \frac{100\sqrt{35}}{7}{{/formula}} ein globales Minimum vor, denn {{formula}}S(x_1)\approx 3958,04 < 4000({{/formula}} (und {{formula}}S(x_1)\approx 3958,04 < 6708{{/formula}}). 50 - 51 -Nun setzt man {{formula}}x_1{{/formula}} in die NB ein: 52 -{{formula}}\overline{AD}= \sqrt{500^2+\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl)^2}\approx 507,09 \text{m}{{/formula}} 53 -{{formula}}\overline{DC}= 1000 - \frac{100\sqrt{35}}{7} \approx 915,49 \text{m}{{/formula}} 54 -{{formula}}\overline{AD} + \overline{DC} 507,09 \text{m}+915,49 \text{m} = 1422,58 \text{m}{{/formula}} 55 - 56 -Für die Dauer ergibt sich jeweils 57 -{{formula}} t_{AD}= \frac{507,09 \text{m}}{50 \frac{\text{m}}{\text{min}}}= 10,14 \text{min}{{/formula}} 58 -{{formula}}t_{DC} = \frac{915,49 \text{m}}{300 \frac{\text{m}}{\text{min}}}= 3,05 \text{min} {{/formula}} 59 - 60 -Und damit insgesamt 61 -{{formula}}t_{ges}=10,14 \text{min}+3,05 \text{min} = 13,19 \text{min} \rightarrow{{/formula}} 13 min 11 sec 1 +[[image:L12.png]] 2 +[[image:L13.png]] 3 +[[image:L14.png]] 4 +[[image:L15.png]]