Wiki-Quellcode von Lösung Fluß
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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
| 1 | [[image:Fluss.PNG||width="280" style="float: right"]] | ||
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| 3 | __Gegeben:__ {{formula}} \overline{AD}= 500\text{m}; \overline{BC}= 1000\text{m};{{/formula}} | ||
| 4 | Geschwindigkeit von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}D{{/formula}}: {{formula}}v_{AD}= 50 \frac{\text{m}}{\text{min}}{{/formula}}; | ||
| 5 | Geschwindigkeit von {{formula}}D{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}}: {{formula}}v_{DC}= 300 \frac{\text{m}}{\text{min}{{/formula}} | ||
| 6 | |||
| 7 | __Gesucht:__ {{formula}}x{{/formula}} | ||
| 8 | |||
| 9 | Da der Sportler den Weg von {{formula}}D{{/formula}} zu {{formula}}C{{/formula}} 6 mal so schnell zurücklegt, wie den von {{formula}}A{{/formula}} zu {{formula}}D{{/formula}}, lautet die Hauptbedingung: | ||
| 10 | {{formula}}S = 6 \cdot \overline{AD} + \overline {DC}{{/formula}} | ||
| 11 | |||
| 12 | Die Nebenbedingungen lauten: | ||
| 13 | {{formula}}\overline{AD}= \sqrt{500^2+x^2}{{/formula}} | ||
| 14 | {{formula}}\overline{DC}= 1000 - x{{/formula}} | ||
| 15 | |||
| 16 | Somit lautet die Zielfunktion: | ||
| 17 | {{formula}}S(x)= 6 \cdot \sqrt{500^2+x^2} + 1000 - x {{/formula}} | ||
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| 19 | mit den Ableitungen | ||
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| 21 | {{formula}}S'(x)= \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1{{/formula}} | ||
| 22 | {{formula}}S''(x)= 6x \bigl(-\frac{1}{2}(500^2+x^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot 2x \bigl) + 6(500^2+x^2)^{-\frac{1}{2}}{{/formula}} | ||
| 23 | |||
| 24 | Durch die notwendige Bedingung {{formula}}S'(x)=0{{/formula}} ergibt sich | ||
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| 26 | {{formula}} | ||
| 27 | \begin{align*} | ||
| 28 | &\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1&=&\: 0 &\: \mid +1\\ | ||
| 29 | \Leftrightarrow &\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}&=&\: 1 &\: \mid \cdot \sqrt{500^2+x^2}\\ | ||
| 30 | \Leftrightarrow &\: 6x &=&\: \sqrt{500^2+x^2} &\: \mid ()^2 \\ | ||
| 31 | \Leftrightarrow &\: 36x^2 &=&\: 500^2+x^2 &\: \mid -x^2 \\ | ||
| 32 | \Leftrightarrow &\: 35x^2 &=&\: 500^2 &\: \mid :35 \\ | ||
| 33 | \Leftrightarrow &\: x^2 &=&\: \frac{500^2}{35} &\: \mid \sqrt \\ | ||
| 34 | \Leftrightarrow &\: x_{1,2} &=&\: \pm \frac{100\sqrt{35}}{7} & | ||
| 35 | \end{align*} | ||
| 36 | {{/formula}} | ||
| 37 | |||
| 38 | Aufgrund des Zusammenhanges kommt nur die positive Lösung in Frage. Einsetzen der Lösung in die zweite Ableitung ergibt | ||
| 39 | {{formula}}S''\bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\bigl) \approx 0,0115 >0 \rightarrow{{/formula}} Minimum | ||
| 40 | |||
| 41 | {{formula}}S\bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\bigl) = 6 \cdot \sqrt{500^2+\bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\bigl)^2}+1000 - \frac{100\sqrt{35}}{7} \approx 3958,04{{/formula}} |