Lösung Rechteck unter Parabel

Zuletzt geändert von akukin am 2024/01/18 12:27

Lösungsschritte:

  1. Passende Skizze zeichnen und Aufgabe veranschaulichen.
  2. Man schreibt sich auf, was gesucht wird und gibt den Ausgangsgrößen und Unbekannten (Variablen) Namen (zum Beispiel: a,x, A, F, V).(Skizze bei komplexen Aufgaben hilfreich)
  3. Die Hauptbedingungen mit Ausgangsgrößen und Variablen aufstellen.
  4. Nebenbedingungen herausfinden und als Funktion beschreiben.
  5. Die Zielfunktion besteht meistens aus mehreren voneinander unabhängigen Ausdrücken. Dann setzt man die Nebenbedingungen in die Hauptfunktion ein.
    Ziel: nur noch eine Variable zu behalten, von der das Ergebnis abhängt → Zielfunktion.
  6. Dann die erste Ableitung Null setzen und mit der zweiten die Ergebnisse überprüfen.
  7. Definitionsbereich beachten und Definitionsränder auch ausrechnen.
  8. Mathematisches Ergebnis im Kontext zur Aufgabe interpretieren.

PlotRechteckunterParabel.png

Die Hauptbedingung lautet
A=2u\cdot v

und die Nebenbedinung
v=-1,25u^2+5

Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung liefert die Zielfunktion
A(u)=2u\cdot (-1,25u^2+5)=-2,5u^3+10u

mit den Ableitungen
A'(u)=-7,5u^2+10
A''(u)=-15u

Erste Ableitung gleich Null setzen:

\begin{align*} A'(u)&=0\\ \Leftrightarrow -7,5u^2+10 &=0\\ \Leftrightarrow \qquad \qquad u_{1,2} &= \pm \sqrt{\frac{10}{7,5}}\approx \pm 1,15 \end{align*}

Da u_2\approx -1,15 außerhalb des Definitionsbereiches D=]0;2[ liegt, kommt nur die positive Lösung in Frage.

Einsetzen von u_1 \approx 1,15 in die zweite Ableitung:
A''(1,15) = -17,25 < 0 \rightarrow Maximum

Es ist A(1,15) \approx 7,70.

Für die Randwerte des Definitionsbereiches ergibt sich A(0)=0 und A(2)=0. Demnach liegt bei u_1\approx 1,15 ein globales Maximum vor.

Einsetzen von u_1 in die NB liefert
v=-1,25\cdot 1,15^2+5 \approx 3,35.

Das heißt, das Rechteck muss die Seitenlängen v=3,35 \text{LE} und 2u=2,3\text{LE}besitzen, damit der Flächeninhalt maximal ist.