Zum Inhalt springen
Zuletzt geändert von akukin am 2024/01/18 12:27
Zeige letzte Bearbeiter
1 **Lösungsschritte:**
2
3 1. Passende Skizze zeichnen und Aufgabe veranschaulichen.
4 1. Man schreibt sich auf, was gesucht wird und gibt den Ausgangsgrößen und Unbekannten (Variablen) Namen (zum Beispiel: a,x, A, F, V).(Skizze bei komplexen Aufgaben hilfreich)
5 1. Die Hauptbedingungen mit Ausgangsgrößen und Variablen aufstellen.
6 1. Nebenbedingungen herausfinden und als Funktion beschreiben.
7 1. Die Zielfunktion besteht meistens aus mehreren voneinander unabhängigen Ausdrücken. Dann setzt man die Nebenbedingungen in die Hauptfunktion ein.
8 Ziel: nur noch eine Variable zu behalten, von der das Ergebnis abhängt → Zielfunktion.
9 1. Dann die erste Ableitung Null setzen und mit der zweiten die Ergebnisse überprüfen.
10 1. Definitionsbereich beachten und Definitionsränder auch ausrechnen.
11 1. Mathematisches Ergebnis im Kontext zur Aufgabe interpretieren.
12
13
14
15 [[image:PlotRechteckunterParabel.png||width="370" style="float: right"]]
16
17 Die **Hauptbedingung** lautet
18 {{formula}}A=2u\cdot v{{/formula}}
19
20 und die **Nebenbedinung**
21 {{formula}}v=-1,25u^2+5{{/formula}}
22
23 Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung liefert die **Zielfunktion**
24 {{formula}}A(u)=2u\cdot (-1,25u^2+5)=-2,5u^3+10u{{/formula}}
25
26 mit den Ableitungen
27 {{formula}}A'(u)=-7,5u^2+10{{/formula}}
28 {{formula}}A''(u)=-15u{{/formula}}
29
30 Erste Ableitung gleich Null setzen:
31
32 {{formula}}
33 \begin{align*}
34 A'(u)&=0\\
35 \Leftrightarrow -7,5u^2+10 &=0\\
36 \Leftrightarrow \qquad \qquad u_{1,2} &= \pm \sqrt{\frac{10}{7,5}}\approx \pm 1,15
37 \end{align*}
38 {{/formula}}
39
40 Da {{formula}}u_2\approx -1,15{{/formula}} außerhalb des Definitionsbereiches {{formula}}D=]0;2[{{/formula}} liegt, kommt nur die positive Lösung in Frage.
41
42 Einsetzen von {{formula}}u_1 \approx 1,15{{/formula}} in die zweite Ableitung:
43 {{formula}}A''(1,15) = -17,25 < 0 \rightarrow{{/formula}} **Maximum**
44
45 Es ist {{formula}}A(1,15) \approx 7,70{{/formula}}.
46
47 Für die Randwerte des Definitionsbereiches ergibt sich {{formula}}A(0)=0{{/formula}} und {{formula}}A(2)=0{{/formula}}. Demnach liegt bei {{formula}}u_1\approx 1,15{{/formula}} ein globales Maximum vor.
48
49 Einsetzen von {{formula}}u_1{{/formula}} in die NB liefert
50 {{formula}}v=-1,25\cdot 1,15^2+5 \approx 3,35{{/formula}}.
51
52 Das heißt, das Rechteck muss die Seitenlängen {{formula}}v=3,35 \text{LE}{{/formula}} und {{formula}}2u=2,3\text{LE}{{/formula}}besitzen, damit der Flächeninhalt maximal ist.