Änderungen von Dokument Lösung Rechteck unter Parabel

Zusammenfassung

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Details

Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

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1		-XWiki.martinstern
	1	+XWiki.akukin

Inhalt

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1		-[[image:L6.png]]
2		-[[image:L7.png]]
3		-[[image:L8.png]]
4		-[[image:L9.png]]
	1	+**Lösungsschritte:**
	2	+
	3	+1. Passende Skizze zeichnen und Aufgabe veranschaulichen.
	4	+1. Man schreibt sich auf, was gesucht wird und gibt den Ausgangsgrößen und Unbekannten (Variablen) Namen (zum Beispiel: a,x, A, F, V).(Skizze bei komplexen Aufgaben hilfreich)
	5	+1. Die Hauptbedingungen mit Ausgangsgrößen und Variablen aufstellen.
	6	+1. Nebenbedingungen herausfinden und als Funktion beschreiben.
	7	+1. Die Zielfunktion besteht meistens aus mehreren voneinander unabhängigen Ausdrücken. Dann setzt man die Nebenbedingungen in die Hauptfunktion ein.
	8	+Ziel: nur noch eine Variable zu behalten, von der das Ergebnis abhängt → Zielfunktion.
	9	+1. Dann die erste Ableitung Null setzen und mit der zweiten die Ergebnisse überprüfen.
	10	+1. Definitionsbereich beachten und Definitionsränder auch ausrechnen.
	11	+1. Mathematisches Ergebnis im Kontext zur Aufgabe interpretieren.
	12	+
	13	+
	14	+
	15	+[[image:PlotRechteckunterParabel.PNG||width="350" style="float: right"]]
	16	+
	17	+Die **Hauptbedingung** lautet
	18	+{{formula}}A=2u\cdot v{{/formula}}
	19	+
	20	+und die **Nebenbedinung**
	21	+{{formula}}v=-1,25u^2+5{{/formula}}
	22	+
	23	+Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung liefert die **Zielfunktion**
	24	+{{formula}}A(u)=2u\cdot (-1,25u^2+5)=-2,5u^3+10u{{/formula}}
	25	+
	26	+mit den Ableitungen
	27	+{{formula}}A'(u)=-7,5u^2+10{{/formula}}
	28	+{{formula}}A''(u)=-15u{{/formula}}
	29	+
	30	+Erste Ableitung gleich Null setzen:
	31	+
	32	+{{formula}}
	33	+\begin{align*}
	34	+A'(u)&=0\\
	35	+\Leftrightarrow -7,5u^2+10 &=0\\
	36	+\Leftrightarrow \qquad \qquad u_{1,2} &= \pm \sqrt{\frac{10}{7,5}}\approx \pm 1,15
	37	+\end{align*}
	38	+{{/formula}}
	39	+
	40	+Da {{formula}}u_2\approx -1,15{{/formula}} außerhalb des Definitionsbereiches {{formula}}D=]0;2[{{/formula}} liegt, kommt nur die positive Lösung in Frage.
	41	+
	42	+Einsetzen von {{formula}}u_1 \approx 1,15{{/formula}} in die zweite Ableitung:
	43	+{{formula}}A''(1,15) = -17,25 < 0 \rightarrow{{/formula}} **Maximum**
	44	+
	45	+Es ist {{formula}}A(1,15) \approx 7,70{{/formula}}.
	46	+
	47	+Für die Randwerte des Definitionsbereiches ergibt sich {{formula}}A(0)=0{{/formula}} und {{formula}}A(2)=0{{/formula}}. Demnach liegt bei {{formula}}u_1\approx 1,15{{/formula}} ein globales Maximum vor.
	48	+
	49	+Einsetzen von {{formula}}u_1{{/formula}} in die NB liefert
	50	+{{formula}}v=-1,25\cdot 1,15^2+5 \approx 3,35{{/formula}}.
	51	+
	52	+Das heißt, das Rechteck muss die Seitenlängen {{formula}}v=3,35 \text{LE}{{/formula}} und {{formula}}2u=2,3\text{LE}{{/formula}}besitzen, damit der Flächeninhalt maximal ist.

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	1	+3.6 MB

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PlotRechteckunterParabel.PNG

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	1	+204.0 KB

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