Lösungsschritte:
- Passende Skizze zeichnen und Aufgabe veranschaulichen.
- Man schreibt sich auf, was gesucht wird und gibt den Ausgangsgrößen und Unbekannten (Variablen) Namen (zum Beispiel: a,x, A, F, V).(Skizze bei komplexen Aufgaben hilfreich)
- Die Hauptbedingungen mit Ausgangsgrößen und Variablen aufstellen.
- Nebenbedingungen herausfinden und als Funktion beschreiben.
- Die Zielfunktion besteht meistens aus mehreren voneinander unabhängigen Ausdrücken. Dann setzt man die Nebenbedingungen in die Hauptfunktion ein.
Ziel: nur noch eine Variable zu behalten, von der das Ergebnis abhängt → Zielfunktion. - Dann die erste Ableitung Null setzen und mit der zweiten die Ergebnisse überprüfen.
- Definitionsbereich beachten und Definitionsränder auch ausrechnen.
- Mathematisches Ergebnis im Kontext zur Aufgabe interpretieren.
Die Hauptbedingung lautet
\(A=2u\cdot v\)
und die Nebenbedinung
\(v=-1,25u^2+5\)
Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung liefert die Zielfunktion
\(A(u)=2u\cdot (-1,25u^2+5)=-2,5u^3+10u\)
mit den Ableitungen
\(A'(u)=-7,5u^2+10\)
\(A''(u)=-15u\)
Erste Ableitung gleich Null setzen:
Da \(u_2\approx -1,15\) außerhalb des Definitionsbereiches \(D=]0;2[\) liegt, kommt nur die positive Lösung in Frage.
Einsetzen von \(u_1 \approx 1,15\) in die zweite Ableitung:
\(A''(1,15) = -17,25 < 0 \rightarrow\) Maximum
Es ist \(A(1,15) \approx 7,70\).
Für die Randwerte des Definitionsbereiches ergibt sich \(A(0)=0\) und \(A(2)=0\). Demnach liegt bei \(u_1\approx 1,15\) ein globales Maximum vor.
Einsetzen von \(u_1\) in die NB liefert
\(v=-1,25\cdot 1,15^2+5 \approx 3,35\).
Das heißt, das Rechteck muss die Seitenlängen \(v=3,35 \text{LE}\) und \(2u=2,3\text{LE}\)besitzen, damit der Flächeninhalt maximal ist.