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Wiki-Quellcode von Lösung Vier Städte

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2026/02/12 20:55
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1 (%class=abc%)
2 1. (((Zwei Möglichkeiten, die Wege anzulegen, sind diese:
3 [[image:Vier Städte A.svg||width=300]] [[image:Vier Städte B.svg||width=300]]
4 Wobei A ein Sonderfall von B ist, wenn {{formula}}x=5{{/formula}} gewählt wird. Also muss nur B betrachtet werden.
5 )))
6 1. (((
7 Die Gesamtstrecke ergibt sich aus dem //Mittelstück// plus vier mal die Schräge Verbindung zur Ecke:
8
9 {{formula}}l(x)=4\sqrt{3^2+x^2} + (10 - 2x)~;~ 0<=x<=5{{/formula}}
10
11 Suche nach Minumum:
12
13 {{formula}}l'(x)=4\frac{x}{\sqrt{x^2+9}} - 2{{/formula}}
14
15 {{formula}}
16 \begin{align*}
17 l'(x) &= 0 \\
18 4\frac{x}{\sqrt{x^2+9}} - 2 &= 0 \\
19 2x &= \sqrt{x^2+9} ~~~| \text{^}^2 \\
20 4x^2 &= x^2 + 9 \\
21 x &= \pm\sqrt3
22 \end{align*}
23 {{/formula}}
24 Durch das Quadrieren der Gleichung auf beiden Seiten ist eine zusätzliche //Lösungen// entstanden, die Wurzelgleichung aber nicht erfüllt:
25 {{formula}}
26 \begin{align*}
27 2\cdot(-\sqrt3) &= \sqrt{(-\sqrt3)^2+9} \\
28 -2\cdot\sqrt3 &\neq 2\sqrt3 \\
29 \end{align*}
30 {{/formula}}
31 Also ist lediglich {{formula}}x=\sqrt3{{/formula}} ein Kandidat für das Optimum.
32 )))