Wiki-Quellcode von Lösung Zaun
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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
| 1 | [[image:Schafweide.png||width="280" style="float: right"]] | ||
| 2 | |||
| 3 | **Hauptbedingung**: | ||
| 4 | {{formula}}A= x \cdot y{{/formula}} | ||
| 5 | |||
| 6 | **Nebenbedingung:** | ||
| 7 | |||
| 8 | {{formula}} | ||
| 9 | \begin{align*} | ||
| 10 | 2x+y &= 110 \quad \mid -2x\\ | ||
| 11 | \Leftrightarrow y &= 110-2x \\ | ||
| 12 | \end{align*} | ||
| 13 | {{/formula}} | ||
| 14 | |||
| 15 | Einsetzen von {{formula}}y= 110-2x{{/formula}} in die Hauptbedingung liefert die **Zielfunktion** | ||
| 16 | {{formula}}A(x)=x\cdot (110-2x)=-2x^2+110x{{/formula}} | ||
| 17 | |||
| 18 | mit {{formula}}A'(x)=-4x+110{{/formula}} | ||
| 19 | |||
| 20 | Gleichsetzen der ersten Ableitung mit Null liefert | ||
| 21 | |||
| 22 | {{formula}} | ||
| 23 | \begin{align*} | ||
| 24 | \qquad A'(x) = 0 \\ | ||
| 25 | \Leftrightarrow &\: -4x+110 &\: = 0 &\: \mid -110 \\ | ||
| 26 | \Leftrightarrow &\: -4x &\: =-110 &\: \mid :(-4) \\ | ||
| 27 | \Leftrightarrow &\: x &\: = 27,5 | ||
| 28 | \end{align*} | ||
| 29 | {{/formula}} | ||
| 30 | |||
| 31 | Da {{formula}}A''(x)=-4 < 0{{/formula}}, liegt ein Maximum vor. | ||
| 32 | |||
| 33 | Es ist {{formula}}A(27,5)=1512,5 \text{m}^2{{/formula}}. | ||
| 34 | An den Rändern des Definitionsbereiches {{formula}}D=[0,110]{{/formula}} gilt {{formula}}A(0)=0{{/formula}} und {{formula}}A(110)=0{{/formula}}. Damit liegt bei {{formula}}x=27,5{{/formula}} ein globales Maximum vor. | ||
| 35 | |||
| 36 | Einsetzen in die NB: {{formula}}y=100-2\cdot 27,5=55{{/formula}}. | ||
| 37 | |||
| 38 | Somit ist der Flächenhalt maximal für die Seitenlängen {{formula}}x=27,5 \text{m}{{/formula}} und {{formula}}y=55 \text{m}{{/formula}}. |