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Wiki-Quellcode von Lösung Zelt

Version 1.1 von Holger Engels am 2024/01/05 12:06
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1 Die Höhe //h// ist abhängig von //a//. Durch zweimalige Anwendung des Satzes von Phytagoras lässt sich folgende Formel für die Höhe herleiten:
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3 {{formula}}h \left ( a \right ) = \sqrt{2{,}5^{2} - \frac{1}{2} a^{2}}{{/formula}}
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5 Wenn man diese nun in die Volumenformel einsetzt, ergibt sich die Zielfunktion zu:
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7 {{formula}}V \left ( a \right ) = \frac{1}{3} a^{2} · \sqrt{6{,}25 - \frac{1}{2} a^{2}}{{/formula}}
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9 Kandidaten für Maximalstellen von //V(a)// liefert die Gleichung {{formula}}V'(a)=0{{/formula}}. Viel einfacher erhält man diese Kandidaten, indem man die Ableitung von{{formula}}V^2(a){{/formula}} gleich null setzt:
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11 {{formula}}V^2(a) = \frac{1}{9} a^4 (6.25 - \frac{1}{2} a^2) = \frac{25}{36}a^4 - \frac{25}{18}a^6{{/formula}}
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13 Damit lässt sich viel einfacher rechnen! Ableiten und gleich Null setzen liefert:
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15 {{formula}}(V^2(a))' = \frac{100}{36} a^3 - \frac{1}{3}a^5 \overset{!}{=} 0{{/formula}}
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17 {{formula}}\Rightarrow a^3(\frac{100}{36} - \frac{1}{3}a^2) = 0{{/formula}}
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19 {{formula}}\Rightarrow a_1 = 0 \wedge \frac{100}{36} = \frac{1}{3}a^2{{/formula}}
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21 {{formula}}a_{2,3} \approx 2,89{{/formula}}
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23 Die Lösung //a,,1,,=0// (Kantenlänge Null) ist offensichtlich ein Minimum. Negative //a// (negative Kantenlängen) ergeben im Anwendungskontext keinen Sinn. Somit ist //a=2,89// die gesuchte Maximalstelle.