Lösung Doppelpyramide

1. \(\overrightarrow{AB}= \left(\begin{array}{c} 0 \\ 10 \\ 0 \end{array}\right), \overrightarrow{BC}= \left(\begin{array}{c} -10 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\).
   Somit ist \(|\overrightarrow{AB}|= |\overrightarrow{BC}|=10\) und das Dreieck ist gleichschenklig.
2. Wegen \(\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{BC}=0\) schließen die Strecken \(\overline{AB}\) und \(\overline{BC}\) einen rechten Winkel ein.
   Für den Punkt \(D(-5|-5|12)\), der sich durch geometrische Überlegungen ergibt, gilt ebenfalls \(\overrightarrow{CD} \circ \overrightarrow{DA}=0\). Somit ist \(ABCD\) ein Quadrat.

3. \(\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array}\right) =r \cdot \overrightarrow{BC} + s \cdot \overrightarrow{BT}= r \cdot \left(\begin{array}{c} -10 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -5 \\ -5 \\ -12 \end{array}\right) \) liefert \(x= -10r-5s, y= -5s\) und \(z=-12s\). Damit ergibt sich \(12y-5z=0\).
(Alternativ kann man, um von der Parameterform auf die Koordinatenform zu kommen, das Skalarprodukt der beiden Spannvektoren berechnen und einen Punkt der Ebene/Stützpunkt einsetzen.)

4.Sei \(M\) der Mittelpunkt der Fläche \(ABCD\) und \(K\) der Mittelpunkt der Strecke \(\overline{BC}\). Aus den Skizzen ergibt sich die Beziehung \(\tan(\varphi)= \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}= \frac{\overline{TM}}{\overline{MK}}= \frac{\frac{1}{2}\cdot |\overline{ST}|}{\frac{1}{2}\cdot |\overline{AB}|} = \frac{12}{5} \Leftrightarrow \varphi= \tan^{-1}\Bigl(\frac{12}{5}\Bigl) \approx 67,4 \text{°}\)

5. Für \(B\) und \(C\) gilt: \(k\cdot 5-5 \cdot 12 = 5k-60\). Somit ist die Ebenengleichung erfüllt und die Kante \(\overline{BC}\) liegt auf dieser Geraden.

6. \(k \cdot 0 -5z= 5k-60 \Leftrightarrow z=12-k\), d.h. \(E_k\) schneidet die z-Achse im Punkt \((0|0|12-k)\). Damit ergibt sich \(-12 \leq k \leq 0\).

7. Da sich \(F\) durch Spiegelungen an der xz-Ebene aus \(E\) ergibt, ist \(\vec{n}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -12 \\ -5 \end{array}\right)\) ein Normalenvektor von \(F\).
Um die Werte von \(k\) zu bestimmen, für die \(E_k\) senkrecht zu \(F\) steht, gilt zu überprüfen, für welche \(k\) die Normalenvektoren der beiden Ebenen senkrecht zu einander stehen (d.h., für welche \(k\) deren Skalarprodukt 0 ist):\(\left(\begin{array}{c} 0 \\ k \\ -5 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} 0 \\ -12 \\ -5 \end{array}\right)=k \cdot (-12)+ (-5)\cdot (-5)= 0 \Leftrightarrow k= \frac{25}{12}\)

8.

Aus der Skizze ergibt sich für das grüne Dreieck die Beziehung \(\cos(90\text{°}-\varphi) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{y_{S'}}{24} \Leftrightarrow y_{S'}= 24 \cdot \cos(90\text{°}-\varphi)\approx 22,2\) 

(Den Winkel \(90\text{°}-\varphi\) erhält  man, indem man das kleine (schwarze) Dreieck betrachtet. Für dessen Winkelsumme gilt \(180 \text{°}=90\text{°}+\varphi + \alpha\), wobei \(\alpha\) unser gesuchter Winkel ist. Es ergibt sich somit \(\alpha = 180 \text{°}-90\text{°}-\varphi = 90\text{°}-\varphi\).)