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Lösung Doppelpyramide

Zuletzt geändert von akukin am 2024/02/02 12:41
  1. \overrightarrow{AB}= \left(\begin{array}{c} 0 \\ 10 \\ 0 \end{array}\right), \overrightarrow{BC}= \left(\begin{array}{c} -10 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right).
    Somit ist |\overrightarrow{AB}|= |\overrightarrow{BC}|=10 und das Dreieck ist gleichschenklig.
  2. Wegen \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{BC}=0 schließen die Strecken \overline{AB} und \overline{BC} einen rechten Winkel ein.
    Für den Punkt D(-5|-5|12), der sich durch geometrische Überlegungen ergibt, gilt ebenfalls \overrightarrow{CD} \circ \overrightarrow{DA}=0. Somit ist ABCD ein Quadrat.

3. \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array}\right) =r \cdot \overrightarrow{BC} + s \cdot \overrightarrow{BT}= r \cdot \left(\begin{array}{c} -10 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -5 \\ -5 \\ -12 \end{array}\right)  liefert x= -10r-5s, y= -5s und z=-12s. Damit ergibt sich 12y-5z=0.
(Alternativ kann man, um von der Parameterform auf die Koordinatenform zu kommen, das Skalarprodukt der beiden Spannvektoren berechnen und einen Punkt der Ebene/Stützpunkt einsetzen.)

4.Sei M der Mittelpunkt der Fläche ABCD und K der Mittelpunkt der Strecke \overline{BC}. Aus den Skizzen ergibt sich die Beziehung \tan(\varphi)= \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}= \frac{\overline{TM}}{\overline{MK}}= \frac{\frac{1}{2}\cdot |\overline{ST}|}{\frac{1}{2}\cdot |\overline{AB}|} = \frac{12}{5} \Leftrightarrow \varphi= \tan^{-1}\Bigl(\frac{12}{5}\Bigl) \approx 67,4 \text{°}

Winkelpyramide.jpgSkizzewinkel.PNG

5. Für B und C gilt: k\cdot 5-5 \cdot 12 = 5k-60. Somit ist die Ebenengleichung erfüllt und die Kante \overline{BC} liegt auf dieser Geraden.

6. k \cdot 0 -5z= 5k-60 \Leftrightarrow z=12-k, d.h. E_k schneidet die z-Achse im Punkt (0|0|12-k). Damit ergibt sich -12 \leq k \leq 0.

7. Da sich F durch Spiegelungen an der xz-Ebene aus E ergibt, ist \vec{n}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -12 \\ -5 \end{array}\right) ein Normalenvektor von F.
Um die Werte von k zu bestimmen, für die E_k senkrecht zu F steht, gilt zu überprüfen, für welche k die Normalenvektoren der beiden Ebenen senkrecht zu einander stehen (d.h., für welche k deren Skalarprodukt 0 ist):\left(\begin{array}{c} 0 \\ k \\ -5 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} 0 \\ -12 \\ -5 \end{array}\right)=k \cdot (-12)+ (-5)\cdot (-5)= 0 \Leftrightarrow k= \frac{25}{12}

8.
Skizzedoppelpyramide.png

Aus der Skizze ergibt sich für das grüne Dreieck die Beziehung \cos(90\text{°}-\varphi) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{y_{S'}}{24} \Leftrightarrow y_{S'}= 24 \cdot \cos(90\text{°}-\varphi)\approx 22,2 

(Den Winkel 90\text{°}-\varphi erhält  man, indem man das kleine (schwarze) Dreieck betrachtet. Für dessen Winkelsumme gilt 180 \text{°}=90\text{°}+\varphi + \alpha, wobei \alpha unser gesuchter Winkel ist. Es ergibt sich somit \alpha = 180 \text{°}-90\text{°}-\varphi = 90\text{°}-\varphi.)