Änderungen von Dokument Lösung Ebenenschar

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,47 +1,13 @@
1		-=== Teilaufgabe 1 ===
2		-{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3		-{{formula}}\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=0 \Leftrightarrow -2a+a-2=0 \Leftrightarrow a=-2{{/formula}}
4		-{{/detail}}
5		-
6		-{{detail summary="Erläuterung"}}
7		-Der Normalenvektor {{formula}}\vec{n}{{/formula}} der Ebene besteht aus den drei Koeffizienten der Koordinatenform ihrer Gleichung:
8		-<br>
	1	+1. ((( Der Normalenvektor {{formula}}\vec{n}{{/formula}} der Ebene besteht aus den drei Koeffizienten der Koordinatenform ihrer Gleichung:
9	9	{{formula}}\vec{n}=\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right){{/formula}}
10		-<br>
11	11	Die Ebene verläuft parallel zur Geraden, wenn der Normalenvektor der Ebene senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden verläuft, also wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren null ist:
12		-<br>
13	13	{{formula}}\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=0 \Leftrightarrow -2a+a-2=0 \Leftrightarrow a=-2{{/formula}}
14		-<br>
15	15	Für {{formula}}a=-2{{/formula}} stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander und damit sind Ebene und Gerade parallel.
16		-{{/detail}}
17		-
18		-=== Teilaufgabe 2 ===
19		-{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
20		-{{formula}}\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)=k\cdot \left(\begin{array}{c} 6\\ -8 \\ 1 \end{array}\right){{/formula}} ergibt {{formula}}k=0,5{{/formula}}
21		-<br>
22		-<br>
23		-Das Gleichungssystem
24		-<br>
25		-
26		-{{formula}}
27		-\begin{align*}
28		-&I: \ 2a &=3 \\
29		-&II:\ a-2 &=0,5
30		-\end{align*}
31		-{{/formula}}
32		-
33		-besitzt keine Lösung und damit gehört die Ebene nicht zur Schar.
34		-{{/detail}}
35		-
36		-{{detail summary="Erläuterung"}}
37		-Der Normalenvektor {{formula}}\vec{n}{{/formula}} der Ebene muss ein Vielfaches (k-Faches) des Vektors der Koeffizienten der angegebenen Gleichung sein:
38		-<br>
	6	+)))
	7	+1. (((Der Normalenvektor {{formula}}\vec{n}{{/formula}} der Ebene muss ein Vielfaches (k-Faches) des Vektors der Koeffizienten der angegebenen Gleichung sein:
39	39	{{formula}}\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)=k\cdot \left(\begin{array}{c} 6\\ -8 \\ 1 \end{array}\right){{/formula}}
40		-<br>
41	41	Anhand der zweiten Zeile (der {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinaten) erkennt man, das {{formula}}k=\frac{1}{2}{{/formula}} sein muss.
42		-Setzt man diesen Wert für {{formula}}k{{/formula}} in die beiden anderen Zeilen ein, erhält man das lineare Gleichungssystem
43		-<br>
44		-<br>
	10	+Setzt man diesen Wert für k in die beiden anderen Zeilen ein, erhält man das lineare Gleichungssystem
45	45
46	46	{{formula}}
47	47	\begin{align*}
...	...	@@ -51,4 +51,4 @@
51	51	{{/formula}}
52	52
53	53	Dieses LGS besitzt keine Lösung für {{formula}}a{{/formula}}. Folglich können die beiden Ebenen nicht identisch sein.
54		-{{/detail}}
	20	+)))